밀도 높은 그래프의 서브선형 하드위거 수 구축

**1. 서론 및 배경** 논문은 그래프 이론에서 핵심적인 개념인 마이너(minor)와 그 중에서도 완전 그래프 K_t가 마이너로 포함되는 최대 t, 즉 하드위거 수 h(G)를 다룬다. Hadwiger의 추측은 색채수 χ(G)와 h(G) 사이의 관계를 제시했으며, 무작위 그래프 G(n,p)에서는 h(G)≈n√log n이라는 결과가 알려져 있다. Mader는 “밀도가 높은 그래프에서도 h(G)=o(n)인 그래프를 명시적으로 만들 수 있는가?”라는 질문을 제기했으며, Thomason은 이와 변형된 문제들을 다수 제시했다. 기존의 의사난수 그래프(constructions)들은 대부분 h(G)≈cn 수준으로 선형에 가깝기 때문에 Mader의 요구를 만족시키지 못했다. **2. 분수 하드위거 수 정의** 저자들은 브램블(bramble)이라는 연결 부분그래프들의 집합 B와 가중치 함수 w: B→ℝ_{\ge0}를 도입한다. 각 정점 v에 대해 B에 포함된 부분그래프들의 가중치 합이 ≤1이면, 전체 가중치 합 Σ_{B∈B} w(B)를 h_f(G)라 정의한다. 이는 전통적인 하드위거 수의 연속적 확장으로, h_f(G)≥h(G)이며, 강한 브램블을 요구하면 하한 h'_f(G)도 정의한다. 정리 2는 h_f(G)≤√{3m}+1 (m은 변의 수)라는 상한을 제공하고, 정리 3은 무작위 그래프 G(n,p)에 대해 h_f(G)와 h(G)가 (1+o(1))n p log_b n (b=1/(1-p))로 거의 일치함을 증명한다. 이는 분수 버전이 실제 마이너 크기를 정확히 추정한다는 강력한 근거가 된다. **3. 블로우‑업 연산과 하드위거 수** 그래프 G와 완전 그래프 K_t의 렉시코그래픽 곱을 G·K_t=G