일반화 양성 유리함수의 양성 실수 보조정리와 모든 실현 구조

초록

본 논문은 복소 행렬값 일반화 양성 유리함수에 대해 양성 실수 보조정리(Positive Real Lemma)를 비최소 실현까지 확장한다. Lyapunov 포함식을 이용해 해당 함수들의 모든(비필수 최소) 상태공간 실현을 체계적으로 구성하는 방법을 제시하고, 동일한 Lyapunov 포함을 만족하는 실현들을 볼록 가역 원뿔(convex invertible cone, cic)으로 구분한다. 또한 정적 출력 피드백을 통해 시스템을 일반화 양성 형태로 변환할 수 있는 조건을 제시하며, 동일 시스템 행렬에 대응하는 다양한 차원의 유리함수들을 하나의 동치류로 묶는 개념을 도입한다.

상세 분석

양성 실수 보조정리(Kalman‑Yakubovich‑Popov Lemma)는 전통적으로 최소 차원의 실현에 대해 전치 대칭 양의 정의역을 만족하는 전이함수와 연관된 Lyapunov 방정식의 존재를 보장한다. 저자들은 이 고전적 결과를 두 차원에서 확장한다. 첫째, 복소 행렬값 일반화 양성(Generalized Positive, GP) 유리함수에 적용함으로써, 실수축이 아닌 복소축에서도 실현이 가능하도록 한다. 여기서 일반화 양성이란, 정의역 내 모든 주파수 ω에 대해 실수부가 비음수가 되는 조건을 의미하지만, 허수축에 극점이 존재하거나 전이함수가 비정규화될 수 있다. 둘째, 비최소 실현을 허용함으로써 Lyapunov 방정식 대신 ‘Lyapunov 포함식’ (A^{*}X+XA\le 0) 형태를 도입한다. 이 포함식은 X가 양정(positive semidefinite)인 경우에만 성립하며, X가 비가역인 경우에도 실현이 존재함을 보인다.

논문은 이러한 포함식을 만족하는 모든 시스템 행렬 ((A,B,C,D))을 하나의 볼록 가역 원뿔(cic)으로 묶는다. cic는 선형 결합에 대해 닫혀 있으며, 행렬의 가역성(invertibility)을 유지한다는 점에서 기존의 양성 실수 집합과 차별된다. 저자들은 cic 내부에서 similarity 변환과 상태 추가(augmentation)를 통해 임의의 비최소 실현을 생성하는 알고리즘을 제시한다. 구체적으로, 주어진 최소 실현 ((A_m,B_m,C_m,D))에 대해 임의의 양정 행렬 (X)를 선택하고, (A=A_m+BXC_m) 형태로 새로운 A 행렬을 정의한다. 이때 B와 C는 원래 입력·출력 행렬을 그대로 유지하거나, 추가 자유도를 부여하기 위해 확장될 수 있다. 결과적으로, 동일한 전이함수를 나타내는 모든 실현이 Lyapunov 포함식에 의해 동일한 cic에 속함을 보인다.

정적 출력 피드백(K)에 관한 섹션에서는, 기존 시스템에 K를 곱해 ((I+KF)^{-1}F) 형태로 변환했을 때 일반화 양성 조건을 만족하도록 하는 K의 존재 여부를 Lyapunov 포함식으로 판정한다. 구체적으로, 존재하는 양정 행렬 (X)가 ( (A+BK C)^{*}X+X(A+BK C)\le 0) 을 만족하면, 해당 K는 시스템을 GP 형태로 만든다. 이는 피드백 설계에 있어 새로운 자유도를 제공하며, 특히 비최소 실현에서도 적용 가능함을 강조한다.

마지막으로, 동일한 시스템 행렬이 서로 다른 차원의 전이함수를 생성할 수 있음을 보이며, 이를 ‘동치류(equivalence class)’라는 개념으로 정의한다. 이 동치류는 같은 cic에 속하는 모든 실현을 포괄하며, 차원 증가에 따른 파라미터 자유도가 어떻게 Lyapunov 포함식에 반영되는지를 명확히 보여준다. 전체적으로, 논문은 양성 실수 이론을 일반화·확장함으로써, 비최소 실현과 복소 행렬값 시스템을 포괄하는 통합 프레임워크를 제공한다.