고정점이 되는 균등 이진 형태소가 만든 무한 순열의 복잡도 분석

초록

이 논문은 균등 이진 형태소(길이 l인 블록을 갖는 마크드 형태소) 중 특정 클래스 Q에 속하는 형태소의 고정점이 생성하는 무한 순열에 대해, 순열 복잡도(길이 n인 부분 순열의 종류 수)를 정확히 계산하는 공식과 그 증명을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 알파벳 Σ={0,1} 위의 오른쪽 무한 단어 ω에 대해, 각 위치 i에서 실수값 R₍ω₎(i)=0.ωᵢωᵢ₊₁…을 정의하고, 이 값들의 순서를 이용해 무한 순열 δ를 만든다. 즉 i <δ j ⇔ R₍ω₎(i) < R₍ω₎(j)이며, 자연수 집합 N 위의 두 순서 <δ와 <를 동시에 고려한다.

다음으로 형태소 ϕ가 균등(모든 블록 길이가 l)이며 마크드(각 블록은 bᵢx cᵢ 형태, bᵢ와 cᵢ가 서로 구별)인 경우를 다룬다. 특히 클래스 Q는 두 가지 형태를 만족한다.

1. ϕ(0)=X=01ⁿ0x₁, ϕ(1)=Y=10ᵐ1y₀ (n,m≥1, X와 Y에 각각 1ⁿ,0ᵐ가 정확히 한 번씩 포함, X와 Y는 1ⁿ⁻¹·0ᵐ⁻¹로 끝나지 않음)
2. ϕ(0)=01ⁿ, ϕ(1)=10ⁿ (n=l−1)

이러한 ϕ의 고정점 ω=ϕ^∞(0)는 “circular”하므로, 길이 ≥L_ω인 부분어는 유일한 동기화 포인트를 갖는다. Lemma 1·2·3은 같은 기호(0 또는 1)를 갖는 두 위치 i, j에 대해 i와 j의 블록 내 위치(i mod l, j mod l)와 블록 종류만 알면 R₍ω₎(i)와 R₍ω₎(j)의 상대 크기가 결정된다는 핵심 성질을 제시한다. 이는 이후 복잡도 계산의 기반이 된다.

다음으로 부분어 u의 “bad”, “narrow”, “wide”라는 세 종류를 정의한다.

• bad: u가 두 개의 동등(permutation‑equivalent) 부분 순열을 생성하는 경우.
• narrow: u의 조상 사슬에서 첫 번째 bad 단어 u_k가 등장하고, 그 직전 해석에서 i+1 > l−j (즉 왼쪽 절단이 오른쪽 절단보다 크게 남음)인 경우.
• wide: 위와 반대로 i+1 < l−j인 경우.

각 종류에 대해 f(u) (u가 생성하는 서로 다른 순열 수)와 m_u, n_u (bad‑word와 관련된 파라미터)를 정의하고, Lemma 5~11을 통해 f(u)는 조상 u′의 f(u′)와 비교해 감소하지 않으며, bad, narrow, wide 각각에 대해 정확한 식 f(u)=m_a+2n_a, m_a+n_a 등을 얻는다.

섹션 6에서는 모든 길이 n인 부분어에 대해 Σ f(u) 를 구하는 알고리즘을 제시한다. 이를 위해 A를 “길이 < L_ω이면서 조상이 L_ω 이상인 단어들의 집합”으로 정의하고, A를 A₁(bad)와 A₂(그 외)로 분리한다. 각 a∈A에 대해 C_{type}^a(n) (type∈{bad,narrow,wide,all})를 구하면 Σ f(u) = Σ_{a∈A₁}