접선 단어의 복잡도 분석

초록

본 논문은 매끄러운(또는 해석적) 곡선의 작은 스케일에서 나타나는 절단 문자열, 즉 접선 단어들의 언어 복잡도를 정확히 계산한다. 균형 단어와의 포함 관계를 이용해 이들 언어의 길이‑n 단어 수를 구하고, 강·약 이중특수 인자(bispecial factors)를 통해 점근적 공식들을 도출한다. 결과적으로 접선 단어와 접선 해석 단어의 복잡도는 각각 다항식·지수형 성장임을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 평면상의 매끄러운 곡선을 단위 속도로 매개변수화하고, 격자 메쉬 h를 겹쳐 놓아 곡선이 지나가는 정사각형들의 이동 방향을 {r,u,l,d} 알파벳으로 기록한다. 격자를 미세하게 하면 곡선의 국소 패턴이 이산적인 “접선 단어”가 된다. 좌·우·위·아래 방향을 0,1 로 치환해 이진 단어로 다루며, T∞(매끄러운 곡선 전체)와 Tω(해석적 곡선 전체) 두 언어를 정의한다.

조합론적 측면에서 저자는 ‘desubstitution’ 연산 δ 를 도입한다. 00 이 없으면 1을, 11 이 없으면 0을 각 연속 구간에서 하나씩 제거하는 방식이며, 이를 반복해 얻은 d(w) 가 빈 문자열이면 w는 균형 단어가 된다. 접선 단어는 d(w)가 ‘대각선(diagonal)’ 자동기관을 통과하면 성립하고, 접선 해석 단어는 ‘비진동 대각선(non‑oscillating diagonal)’ 자동기관을 통과해야 한다는 명제 1을 제시한다.

기하학적으로는 ε‑근접한 직선에 곡선을 배치하면 해당 단어가 접선 단어가 됨을 보이며, 곡선이 전역적으로 0이 아닌 곡률을 가질 경우 접선 해석 단어가 된다(명제 2).

복잡도 계산에서는 언어가 factorial하고 extendable하므로 bispecial factor 개념을 활용한다. 강(bispecial) 인자는 00,01,10,11 네 가지 연장 모두가 언어에 속하는 경우이며, 약(bispecial) 인자는 두 가지만 가능한 경우이다. 저자는 T∞와 Tω 모두 약 bispecial 인자가 존재하지 않으며, 모든 강 bispecial 인자는 격자 상의 정수점 (p,q) 사이의 직선 구간에 대응한다는 사실을 증명한다. gcd(p,q)=1이면 길이 p+q‑2인 단어가 하나, 그렇지 않으면 k=⌊(gcd(p,q)−1)⌋ 만큼의 추가 변형이 존재한다.

이를 바탕으로 강 bispecial 인자의 개수를 구하고, 복잡도 공식에 대입한다. 결과는
pₙ(Tω)=1+n+∑{i=1}^{n}∑{j=2}^{i}(2j−φ(j)−1)
pₙ(T∞)=1+n+½∑{i=1}^{n}∑{j=2}^{i}∑_{d|j} (φ(j)·2j/d−1)
이며, 여기서 φ는 오일러 토션트 함수이다. 따라서 Tω는 다항식 차수 3(큐빅) 성장, T∞는 지수적 성장 형태를 보인다.

마지막으로 저자는 1‑balanced(디지털 직선), 접선 해석 단어, 접선 단어, 2‑balanced 순으로 포함 관계가 엄격히 확장됨을 정리하고, 접선 해석 단어는 두 개의 1‑balanced 단어의 연결(concatenation)으로 표현될 수 있음을 언급한다. 이는 복잡도 차이를 설명하는 중요한 통찰이다.