그래프 제약 하 희소 복구: 근본 한계와 측정 설계

본 논문은 네트워크 모니터링 등 실세계 시스템에서 발생하는 “그래프 제약”을 고려한 희소 복구 문제를 체계적으로 연구한다. 먼저, 그래프 \(G=(V,E)\) 위에 정의된 실수 벡터 \(x\in\mathbb{R}^n\) 에 대해, 하나의 측정은 정점 집합 \(S\subseteq V\) 가 연결된 유도 서브그래프 \(G_S\) 를 형성할 때만 가능하다고 가정한다(A1). 측정값은 해당 정점들의 값의 합(가산성)이며(A2), 이를 0‑1 행렬 \(A\) 로 표현한다. 문제 정의는 주어진 \(k\)‑희소 벡터 \(x\) 를 복구하기 위해 필요한 최소 비적응 측정 횟수 \(M^G_{k,n}\) 를 찾는 것이다. 완전 그래프에서는 기존 압축 센싱 결과에 따라 \(M^C_{k,n}=O(k\log(n/k))\) 가 충분함을 상기한다. **특수 그래프에 대한 측정 설계** 1. **라인·링**: 연속된 정점만을 동시에 측정할 수 있다. 1‑희소 복구에는 \(\lceil n/2\rceil\) 측정이 필요하고, 일반 \(k\)‑희소 복구에는 정수 \(t=\lceil n/k\rceil\) 에 대해 \(k t+1\) 개의 구간 측정을 사용한다(정리 1). 이는 \(\Theta(n)\) 대신 \(O(k\lceil n/k\rceil)\) 측정으로 감소한다. 2. **4‑인접 링 \(G_4\)**: 각 정점이 양쪽 이웃 외에 두 개의 추가 이웃과 연결된 구조. 여기서는 홀수 정점 집합 \(T_o\) 을 “허브”로 삼아 짝수 정점 집합 \(T_e\) 의 임의 부분을 \(T_o\) 와 함께 측정하고, 허브 합을 빼는 방식으로 \(T_e\) 를 자유롭게 측정한다. 결과적으로 전체 복구에 필요한 측정 수는 \