L C 알파벳 격자 그래프의 해밀턴 경로 존재 조건과 선형 시간 알고리즘

본 논문은 격자 그래프의 특수 형태인 L‑알파벳(L‑alphabet) 그래프와 C‑알파벳(C‑alphabet) 그래프에 대해 해밀턴 경로 존재 여부를 완전하게 규명하고, 해당 경로를 선형 시간 안에 찾는 알고리즘을 제시한다. 연구는 먼저 2차원 정수 격자 G∞ 위에 정의된 사각형 격자 그래프 R(m,n)의 기존 결과를 요약한다. R(m,n)이 짝수 크기(even‑sized)일 경우 검은‑흰 정점 수가 동일하므로 해밀턴 경로의 양 끝 정점은 서로 다른 색이어야 하고, 홀수 크기(odd‑sized)일 경우 양 끝 정점은 모두 흰색이어야 한다는 색 호환성(color‑compatibility) 조건을 도출한다. 또한, 이전 연구에서 제시된 금지 패턴(F1, F2, F3)을 그대로 적용해 R(m,n)에서 (s,t) 쌍이 이러한 패턴에 해당하면 해밀턴 경로가 존재하지 않음을 보인다. L‑알파벳 그래프 L(m,n)와 C‑알파벳 그래프 C(m,n)은 각각 R(3m‑2,5n‑4)와 R(3m‑2,5n‑4)에서 특정 영역을 제거한 형태이며, 두 그래프 모두 최소 포함 사각형 R′을 갖는다. Lemma 3.1은 L 혹은 C 그래프에서 (s,t) 사이에 해밀턴 경로가 존재한다면, 그 최소 포함 사각형 R′에서도 해밀턴 경로가 존재함을 증명한다. 이는 색 호환성이 두 그래프 모두에 필요함을 의미한다. 이어서 Lemma 3.2와 Lemma 3.3은 각각 L‑그래프와 C‑그래프를 두 개의 직사각형 서브그래프(R1, R2)로 분할(separation)했을 때, 하나의 서브그래프가 금지 패턴(F3)를 만족하면 전체 그래프에서는 해밀턴 경로를 구성할 수 없음을 보여준다. 특히, R(2m‑2,n)에서 F3가 발생하면 L‑그래프 전체에서 경로를 만들 수 없으며, C‑그래프는 L‑그래프와 직사각형 그래프의 결합 형태이므로 동일한 논리가 적용된다. 다음 단계에서는 “스트립(stripping)” 기법을 도입한다. Lemma 3.4와 Lemma 3.5는 짝수 크기의 직사각형 서브그래프 S를 원 그래프 A(L 혹은 C)에서 제거했을 때, A−S와 S가 각각 해밀턴 경로나 사이클을 가질 수 있음을 보인다. A−S에 존재하는 경로의 끝점 중 하나와 S의 사이클을 연결하는 한 변을 교체함으로써 전체 그래프 A에 해밀턴 경로를 복원한다. 이 과정은 상수 시간 내에 수행될 수 있다. 위의 정리들을 종합해 Theorem 3.1은 L‑알파벳 및 C‑알파벳 그래프에서 (s,t) 쌍이 “허용 가능한(acceptable)” 경우와 그렇지 않은 경우를 명확히 구분한다. 허용 가능성은 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다. (1) 색 호환성: 짝수 크기 그래프에서는 s와 t가 서로 다른 색, 홀수 크기에서는 두 정점 모두 흰색이어야 함. (2) 금지 패턴(F1‑F3) 회피: (s,t) 쌍이 해당 패턴에 포함되지 않아야 함. (3) 스트립 존재: A−S가 허용 가능한 서브문제이며, S가 짝수 크기의 직사각형 서브그래프여야 함. 이러한 조건을 모두 만족하면 (s,t) 사이에 해밀턴 경로가 존재한다는 충분조건이 된다. 마지막으로 Theorem 3.2는 위의 허용 가능한 경우에 대해 전체 알고리즘이 O(|V|) 시간, 즉 선형 시간에 해밀턴 경로를 찾을 수 있음을 증명한다. 알고리즘은 크게 세 단계로 구성된다. 첫째, 입력 그래프를 O(1) 단계에서 두 개(또는 세 개)의 직사각형 서브그래프로 분할한다. 둘째, 기존 연구