보이드‑캐리 추측의 증명과 2‑매칭·서브투어 LP 사이의 최적 비율 10/9

본 논문은 30년 넘게 해결되지 않았던 “Boyd‑Carr 추측”을 최종적으로 증명한다. 추측은 서브투어 LP(서브투어 제약만 포함) 최적값과 그 LP에 대한 최적 정수 2‑매칭(각 정점의 차수가 정확히 2인 그래프) 사이의 최악 비율이 10/9 이하라는 내용이다. 저자는 먼저 서브투어 LP와 2‑매칭 사이의 관계를 정리하고, 특히 “분수 2‑매칭(F2M)”이라는 개념을 도입한다. F2M은 LP(1)·(3) 제약만 만족하는 해로, 각 연결 성분이 (a) 모든 간선이 1인 사이클(정수 성분) 혹은 (b) ½ 값의 사이클 간선과 1 값의 경로 간선으로 이루어진 구조(분수 성분)로 구성된다. 여기서 경로 간선이 절단(edge cut) 역할을 하면 성분이 분리될 위험이 있다. 논문은 두 가지 주요 결과를 제시한다. 첫 번째는 기존 Boyd‑Carr가 제시한 4/3 상한을 보다 간단히 재증명하는 것으로, 이는 그래프 이론적 매칭 결과(Naddef‑Pulleyblank 정리)를 이용한다. 두 번째이자 핵심 결과는 “절단이 없는 F2M”에 대해 최적 정수 2‑매칭의 비용이 F2M 비용의 10/9 배를 초과하지 않음을 보이는 것이다. 이를 위해 저자는 “그래픽 2‑매칭(G2M)”이라는 다각형을 정의한다. G2M은 각 정점의 차수가 2 또는 4이며, 각 간선이 0, 1, 2개의 복사본을 가질 수 있고, 모든 성분의 크기가 최소 3인 그래프이다. 삼각 부등식이 성립하면 G2M을 일반 2‑매칭으로 단축해도 비용이 증가하지 않는다. 증명 과정은 다음과 같다. (1) F2M의 지원 그래프 G에서 모든 경로를 하나의 “경로 간선”으로 압축해 새로운 그래프 G′를 만든다. 이때 사이클 간선은 그대로 유지한다. G′는 3‑정규·2‑에지 연결성을 가지며, 이는 절단이 없는 F2M에서 자동으로 보장된다. (2) G′에 대해 최소 비용 완전 매칭을 구한다. 매칭에 포함된 경로 간선은 원래 경로를 두 배로 복제하고, 매칭에 포함되지 않은 사이클 간선은 그대로 유지한다. 이렇게 구성된 그래프는 각 정점의 차수가 2 또는 4가 되므로 G2M의 정의를 만족한다. (3) 비용 분석에서는 G′가 3‑정규·2‑에지 연결이므로 Naddef‑Pulleyblank 정리를 적용해 매칭 비용이 전체 간선 비용의 ≤1/3임을 얻는다. F2M의 전체 비용은 사이클 비용 C와 경로 비용 P의 조합, 즉 ½C+P 로 표현된다. G2M의 비용은 (C+P) + 매칭비용 ≤ (C+P)+(1/3)P−(1/3)C = (4/3)P+(2/3)C = (10/9)(½C+P) 가 된다. 따라서 최적 2‑매칭 비용 ≤ 10/9·F2M 비용이 성립한다. 논문에 제시된 그림 1의 예시에서는 실제로 비율이 10/9에 도달함을 확인해 이 상한이 정확히 타이트함을 증명한다. 이후 저자는 G2M 다각형을 이용해 서브투어 LP 해 x에 대해 10/9·x가 G2M 다각형에 속함을 보인다. 즉, 서브투어 LP 최적값에 10/9를 곱한 벡터가 그래픽 2‑매칭의 허용 영역에 들어가므로, 최적 2‑매칭이 그 비용 이하임을 보장한다. 이는 Boyd‑Carr 추측을 완전하게 증명하는 핵심 논리이다. 또한 모든 단계가 다항시간 알고리즘으로 구현 가능함을 언급하고, 비용이 {1,2}인 1‑2‑TSP와 같은 특수 경우에도 동일한 비율이 유지된다는 추가 결과를 제시한다. 마지막으로 저자는 “서브투어 LP의 최악 적분성 격차는 언제나 분수 2‑매칭 해에서 발생한다”는 새로운 추측을 제시하며, 이는 차후 연구의 방향을 제시한다. 전체적으로 논문은 매칭 이론, 다각형 해석, 그리고 삼각 부등식의 특성을 결합해 2‑매칭과 서브투어 LP 사이의 근본적인 관계를 명확히 밝히며, 10/9라는 최적 비율을 엄격히 증명함으로써 TSP 이론에 중요한 진전을 제공한다.