리프트 앤 프로젝트 기법으로 본 여행세일즈맨 문제의 적분성 격차

초록

본 논문은 표준 LP 완화에 Lovász‑Schrijver와 Sherali‑Adams의 lift‑and‑project 절차를 적용했을 때, 비대칭 TSP 투어에서는 적분성 격차가 최소 3/2, 대칭 TSP 투어와 경로에서는 기존에 알려진 4/3·3/2 격차가 각각 o(n) 라운드 이후에도 유지됨을 보인다. 새로운 “프레임” 구조를 이용한 보호 행렬 설계가 핵심 기법이다.

상세 분석

논문은 여행세일즈맨 문제(TSP)의 네 가지 변형(대칭·비대칭 투어와 경로) 각각에 대해, 가장 널리 쓰이는 DFJ/헬드‑카프(서브투어 제거) LP 완화에 lift‑and‑project 계층을 적용했을 때 발생하는 적분성 격차(integrality gap)를 정밀히 분석한다. 기존 결과는 비대칭 투어의 기본 LP에서 적분성 격차가 2, 대칭 투어가 4/3, 대칭 경로가 3/2임을 알려주었으며, Cheung은 대칭 투어에 대해 LS 절차를 o(n) 라운드 적용해도 4/3 격차가 사라지지 않음을 증명했다.

이 논문은 첫 번째 라운드의 LS(또는 동등한 SA) 적용 후에도 비대칭 투어의 격차가 3/2 이상 남는다는 새로운 하한을 제시한다. 여기서 중요한 점은 표준 완화의 두 가지 동등한 형태 중, “약한 버전”에만 이 하한이 성립한다는 점이다. 약한 버전은 각 정점에 대한 입·출 차수 제약을 하나만 남기고, 다른 차수 제약을 제거한 형태로, lift‑and‑project 과정에서 더 쉽게 약화된다.

핵심 기술은 “프레임(frame)”이라 불리는 특수한 방향 그래프 구조를 이용해 보호 행렬(protection matrix)을 구성하는 것이다. 보호 행렬은 LS 절차에서 요구되는 반대칭성, 0‑1 대각선, 그리고 각 행이 원래 다각형(cone(R))에 속하도록 하는 조건을 만족해야 한다. 기존에는 정점 커버나 CSP와 같은 문제에서만 알려진 설계 기법을 비대칭 TSP에 바로 적용하기 어려웠다. 저자들은 각 정점에 대해 서로 다른 두 개의 프레임을 선택하고, 이 프레임들의 교차 패턴을 정교히 조정해 행렬의 모든 비대각 성분이 0‑1 값으로 유지되면서도 필요한 선형 제약을 만족하도록 만들었다. 이 과정을 통해 LP 해가 1/2 이하의 값으로 수렴하지 못하고, 실제 최적 투어 길이와 비교했을 때 최소 3/2 배 차이가 남는 인스턴스를 구성한다.

대칭 경로 문제에 대해서는 Cheung의 인스턴스를 변형해 “시작‑끝 정점”을 고정한 뒤, 동일한 프레임 기반 보호 행렬을 적용한다. 결과적으로 o(n) 라운드의 LS 절차를 거쳐도 경로 버전의 적분성 격차는 3/2 이하로 감소하지 않는다. 이는 대칭 경로가 비대칭 경로보다 구조적으로 더 강력한 제한을 갖지만, lift‑and‑project 계층이 이를 충분히 포착하지 못한다는 의미이다.

논문의 의의는 두 가지이다. 첫째, 비대칭 TSP에서도 단일 라운드 LS/SA가 기존 LP의 약점을 크게 개선하지 못한다는 부정적인 증거를 제공한다. 이는 현재 알려진 O(log n / log log n) 근사 알고리즘이 LP 기반 라운딩 한계에 의해 제약받는다는 직관을 강화한다. 둘째, 프레임 기반 보호 행렬 설계는 기존에 제한적이던 lift‑and‑project 기법을 새로운 그래프 구조에 적용할 수 있는 일반적인 도구로 확장한다는 점에서 이론적 가치를 가진다.