브레이디드 Hopf 교차곱의 순환동형학

초록

이 논문은 Brzeziński식 교차곱 (E=A#_{f}V) 와 그 중에서도 특히 cleft braided Hopf 교차곱에 대해, 기존의 정규화 혼합 복합체보다 간단한 혼합 복합체를 구성하고, 이를 이용해 Hochschild, cyclic, negative, periodic homology를 상대적(서브알gebra (K) 에 대한) 및 절대적으로 계산한다. 또한 여러 스펙트럼 시퀀스를 도출하고, 계수 모듈에 대한 Hochschild(공)동형학과 cup·cap 구조도 연구한다.

상세 분석

논문은 먼저 Brzeziński가 제시한 일반적인 교차곱 (A# V) 의 구조를 복습하고, 여기서 (V) 는 구별된 원소 (1_{V}) 를 갖는 (k)‑벡터공간이며, 곱셈은 꼬임 사상 (\chi) 와 코사이클 (F) 에 의해 정의된다. 저자들은 (K\subseteq A) 라는 서브알gebra를 고정하고, (K) 가 (\chi)와 (F)에 대해 안정적(stable)이며 (F)가 (K\otimes V) 에 값을 갖는 경우를 가정한다. 이러한 가정 하에, 기존의 정규화 혼합 복합체 ((C_{\bullet}(E),b,B)) 와 동형동등한 새로운 혼합 복합체 ((X_{\bullet},d,D)) 을 명시적으로 구성한다. 핵심은 (A)‑(V) 텐서 구조를 이용해 복합체의 차원을 크게 줄이면서도 경계 연산자와 Connes 연산자를 보존하는 것이다.

다음 단계에서는 (E) 가 braided Hopf 교차곱 (A#{f}H) (여기서 (H)는 braided Hopf algebra, (s)는 전치(transposition), (\rho)는 약한 (s)‑action, (f)는 정상 코사이클)인 경우를 다룬다. 특히 (E)가 cleft, 즉 (\gamma:H\to E,\ \gamma(h)=1# h) 가 컨볼루션 가역인 경우, 저자들은 ((X{\bullet},d,D)) 를 다시 한 번 단순화하여 ((\mathcal{X}_{\bullet},\partial,\Delta)) 이라는 더 작은 복합체를 얻는다. 이 복합체는 (H) 의 braid와 전치 (s) 의 구조를 이용해 (A)‑(H) 텐서 형태로 전개되며, 복합체 간의 동형동등은 명시적인 체인 동형사상과 동형 사상 사이의 호모토피를 통해 증명된다.

또한 저자들은 위의 복합체들을 이용해 네 개의 스펙트럼 시퀀스를 구축한다. 첫 번째와 세 번째 시퀀스는 기존 문헌(