라벨 그래프에서 제곱 자유 워크의 존재와 색상 수

** 본 논문은 “제곱 자유”라는 고전적인 단어 이론 개념을 그래프 이론에 적용하여, 라벨이 붙은 그래프 \(G=(A_n,E)\) 위에서 정의되는 \(G\)-워드(그래프 위의 워크)가 무한히 제곱 자유가 될 수 있는지, 그리고 이를 위해 필요한 최소 색상 수 \(\gamma(G)\)를 조사한다. 먼저, 단어 \(w=i_1i_2\ldots i_k\) 가 \(G\)-워드가 되려면 연속된 두 글자 \(i_j i_{j+1}\) 가 그래프 \(G\) 의 간선이어야 한다는 정의를 제시한다. 이는 그래프의 정점을 알파벳으로, 간선을 문자쌍으로 보는 자연스러운 모델이다. 주된 연구 질문은 “어떤 그래프 \(G\) 가 무한 제곱 자유 \(G\)-워드를 허용하는가?”이며, 이를 해결하기 위해 그래프의 구조적 특성을 세밀히 분석한다. 1. **차수가 3 이상인 정점이 존재하는 경우** 정점 \(x\) 의 차수가 3 이상이면, 그 이웃을 \(0,1,2\) 라 두고, 임의의 제곱 자유 무한 단어 \(w\) 위에 각 문자 \(i\) 를 두 글자 \(i i\) 로 교체한 단어 \(w'\) 를 만든다. 이때 \(w'\)는 여전히 제곱 자유이며, 그래프 \(G\) 의 간선 규칙을 만족한다. 따라서 차수가 3 이상인 그래프는 언제든지 4색으로 제곱 자유 워크를 만들 수 있다(정리 6). 반면 3색으로는 불가능함을 보이며, 이는 두 이웃이 같은 색을 가질 경우 이진 단어가 되어 제곱 자유가 깨지기 때문이다. 2. **차수가 2 이하인 경우: 경로와 사이클** 차수가 2 이하이면 그래프는 경로(\(P_m\))와 사이클(\(C_k\))의 합으로 분해된다. 여기서 중요한 부정 결과는 짧은 경로 \(P_3\)와 \(P_4\)에서는 일정 길이 이상 제곱 자유 워드를 만들 수 없다는 점이다. \(P_3\)에서는 두 번째 글자가 반드시 1이 되므로, 1을 삭제하면 이진 제곱 자유 단어가 되는데, 이진 제곱 자유 단어는 길이가 3을 초과할 수 없으므로 무한 워크는 불가능하다. \(P_4\)의 경우 컴퓨터 검증을 통해 최대 길이가 15임을 확인하고, 16 이상의 길이는 존재하지 않음을 증명한다(레마 3). 3. **\(P_5\)와 그 이상의 경로** \(P_5\)를 포함하는 그래프는 무한 제곱 자유 워크를 가질 수 있다. 이를 위해 저자는 Thue의 무한 제곱 자유 단어 \(t\)에 비균일 모핑 \(\alpha\)를 적용한다. \(\alpha\)는 각 문자에 대해 길이가 24, 16, 8인 문자열을 매핑하며, 010과 같은 금지 패턴을 피하도록 설계되었다. 레마 5와 레마 4를 이용해 \(\alpha(t)\)가 제곱 자유임을 보이고, 이를 다시 3색 매핑 \(\phi\)와 결합해 \(\phi(\alpha(t))\)가 정확히 \(P_5\)-워드가 됨을 증명한다. 따라서 차수가 2 이하이면서 \(P_5\)를 포함하는 모든 그래프는 \(\gamma(G)=3\)이다(정리 2, 레마 5). 4. **사이클 \(C_n\)에 대한 분석** - \(C_3\): 3문자 알파벳 자체가 제곱 자유이므로 바로 \(\gamma(C_3)=3\). - \(C_4\): 3색으로는 제곱 자유 워크를 만들 수 없으며, 4색이 필요함을 보인다. 구체적으로 색이 같은 두 대각선 정점이 매 2번째 위치에 반복되면 이진 단어가 되므로 제곱 자유가 깨진다(레마 7). - \(C_n\) (n≥5): \(C_n\)는 \(P_5\)를 포함하므로 \(\gamma(C_n)=3\)이다. 5. **색상 수 \(\gamma(G)\)의 전반적 결과** 정리 1에 의해, 그래프가 \(C_3, C_4, C_5, P_5, K_{1,3}\) 중 하나를 포함하면 무한 제곱 자유 \(G\)-워드가 존재한다. 이때 \(\gamma(G)=3\)는 \(C_3, C_5, P_5\)에 해당하고, \(\gamma(G)=4\)는 \(C_4, K_{1,3}\)에 해당한다. 정점이 5개 이상인 모든 그래프는 차수가 2 이하이거나 위의 작은 그래프들을 포함하므로 \(\gamma(G)\le4\)가 성립한다(코롤라리 1). 6. **기존 연구와의 연계** James Currie(1991)의 논문과 동일한 결과를 다루지만, 증명의 접근 방식이 다소 다르다. 또한 Dean(1965)의 결과를 간단히 재증명하고, 토너먼트(방향 그래프)에서의 제곱 자유 워드 존재 여부를 탐구한다. 토너먼트에서는 4문자 알파벳에서 최대 길이 20인 제곱 자유 워드가 존재하고, 5문자 알파벳에서는 무한 제곱 자유 워드가 존재함을 보인다(정리 9). 7. **기술적 도구와 방법론** - **모핑**: 비균일 모핑 \(\alpha\)와 균일 모핑 \(\beta\)를 이용해 기존 제곱 자유 단어를 그래프 구조에 맞게 변형. - **컴퓨터 검증**: \(P_4\)와 토너먼트의 최대 길이 탐색 등에 사용. - **Crochemore 정리**: 균일 모핑이 길이 3 이하의 제곱 자유 단어를 보존하면 모든 제곱 자유 단어를 보존한다는 정리를 활용해 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 제곱 자유성을 증명. 결론적으로, 이 논문은 그래프의 구조적 특성과 색상 수가 제곱 자유 워크의 존재에 어떻게 영향을 미치는지를 완전하게 규명한다. 특히 차수가 2 이하인 경우 경로와 사이클의 최소 길이가 핵심적인 역할을 하며, 차수가 3 이상이면 4색만으로 충분함을 보인다. 이러한 결과는 그래프 색채 이론과 조합 단어 이론을 연결하는 새로운 관점을 제공한다. **