Hilbert 공간에서 연산자 유도 노름의 근사 특성

본 연구는 L²(𝔛) 공간의 닫힌 서브스페이스 𝓗 위에 정의된 연산자 유도 노름 ‖·‖ₐ 를 조사한다. 𝔄:𝓗→ℝⁿ 은 선형 연산자로, 일반적인 경험적 노름(샘플링 연산자)뿐 아니라 무작위 사영, 푸리에 계수 선택 등 다양한 형태를 포함한다. 논문은 먼저 이러한 연산자 유도 노름이 원래 L² 노름을 얼마나 정확히 근사하는지를 정량화하기 위해, Δₙ(𝓗,𝔄) := sup_{f∈𝓗,‖f‖₂≤1} |‖f‖ₐ²−‖f‖₂²| 를 정의하고, 이 값의 기대 상한 및 확률적 상한을 구한다. 1. **문제 설정 및 기본 가정** - 𝓗는 재현 커널 K에 의해 생성된 RKHS이며, K는 Mercer 전개 K(x,x') = Σ_{j=1}^∞ λ_j φ_j(x)φ_j(x') 로 표현된다. - 고유값 λ_j 가 λ_j ≤ C j^{-2α} (α>½) 를 만족한다는 스펙트럼 감쇠 가정이 핵심이다. - 연산자 𝔄_n 은 n개의 i.i.d. 샘플 {x_i} 에 대해 (𝔄_n f)_i = f(x_i) 로 정의된다. 2. **주요 정리** - **정리 1 (경험적 노름 근사 상한)**: 위 가정 하에, 임의의 m‑차원 근사 공간 𝓗_m = span{φ_1,…,φ_m} 에 대해 E