고차 기하학에서의 동변성

본 논문은 고차 기하학에서 동변성(equivariance)과 전역화(globalization)를 동시에 다루기 위해, Lie groupoid 를 기본 범주로 삼고 bicategory 수준의 (pre‑)sheaf 이론을 전개한다. 1장에서는 전통적인 매끄러운 다양체 위의 (pre‑)sheaf 이론을 요약하고, Lie groupoid 를 도입함으로써 로컬 데이터와 군 작용을 하나의 프레임워크에 통합한다. 여기서 중요한 점은 모든 매끄러운 다양체 M 을 자명한 군oid M⇒M 으로 embed 함으로써, 기존의 sheaf 이론을 자연스럽게 확장할 수 있다는 것이다. 2장에서는 Lie groupoid 위의 bicategory‑valued presheaf X 를 정의한다. 먼저 군oid의 신경(Nerve) Γ· 를 이용해 simplicial manifold 로 전환하고, 이를 통해 Γ‑equivariant 객체를 (O1‑O4)의 데이터와 일관성 조건으로 기술한다. 1‑morphism 과 2‑morphism 도 유사하게 simplicial 구조를 따라 정의되며, 이는 기존의 1‑범주적 equivariant sheaf 와 완전히 일치한다. 이어서 τ‑open(열린 덮개)과 τ‑sub(전사 서브머전) 두 종류의 커버링을 도입하고, 각각에 대한 τ‑2‑prestack 과 τ‑2‑stack 개념을 정의한다. 핵심 정리 2.16 은 τ‑sub‑weak equivalence (즉, Morita equivalence)인 Lie groupoid 사이의 풀백 functor 가 (1) Hom‑category 수준에서 완전 충실(full faithful)하고, (2) 스택 수준에서는 bicategory 전역 동등(equivalence)임을 증명한다. 이 정리는 고차 기하학에서 “local data glue to global object” 라는 원리를 Lie groupoid 의 관점에서 엄밀히 보장한다. 3장에서는 플러스 구성을 소개한다. 임의의 2‑prestack X 에 대해, 커버 Y→M 과 그 위의 descent 객체를 쌍으로 하는 새로운 bicategory X⁺(M) 을 정의한다. 정리 3.3 은 X⁺ 가 실제 τ‑stack 이며, 삽입 X(M)→X⁺(M) 가 완전 충실함을 보인다. 플러스 구성을 통해 “trivial” 객체(예: 2‑form)만으로부터 복잡한 고차 객체(예: bundle gerbe)를 전역적으로 구성할 수 있다. 이 과정에서 τ‑surjective equivalence 와 strong equivalence 라는 두 종류의 1‑morphism 분해를 이용해 factorization 을 수행하고, 이를 통해 2‑prestack → 2‑stack 전이의 구체적 메커니즘을 제공한다. 4장에서는 구체적인 응용 사례를 제시한다. (i) Bundle gerbe with connection 를 Gᵣbᵗʳⁱᵛ∇ 라는 trivial gerbe bicategory 로 모델링하고, 플러스 구성을 적용해 일반적인 gerbe Gᵣb∇ 를 재구성한다. 정리 3.3 덕분에 gerbe 가 스택임을 즉시 얻는다. (ii) Jandl gerbe 를 도입해 비지향 표면에 대한 holonomy 를 정의한다. 이는 기존의 Jandl 구조와 비교해 동일함을 보이며, Hilsum‑Skandalis morphism 을 통해 비지향 세계시트 Σ 를 Lie groupoid Λ 로 매핑하는 방법을 제시한다. (iii) Kapranov‑Voevodsky 2‑vector bundle 를 2‑범주적 관점에서 서술하고, 플러스 구성을 통해 전역적인 2‑벡터 번들을 구성한다. 이 모든 예시에서 정리 2.16 과 정리 7.5 (equivariant descent) 를 결합하면, Lie 그룹 혹은 Lie groupoid 의 액션에 대한 equivariant gerbe 를 로컬 데이터만으로도 손쉽게 구축할 수 있다. 특히 stabilizer 그룹을 이용한 기술이 크게 단순화된다. 5‑9장은 정리들의 증명을 상세히 전개한다. 5장에서는 factorization 시스템을 구축하기 위해 strong equivalence 와 τ‑surjective equivalence 를 정의하고, 이를 이용해 any morphism 을 두 단계로 분해한다. 6‑8장은 이 분해를 이용해 sheaf와 strong equivalence 사이의 관계, equivariant descent, τ‑surjective equivalence 와 sheaf의 상호작용을 차례로 증명한다. 9장은 정리 3.3 의 증명을 제공한다. 부록 A에서는 표면 holonomy 를 두 부분으로 나누어, oriented case 와 unoriented case 를 각각 다루며, Jandl gerbe 와 orientifold 배경을 연결한다. 전체적으로 논문은 (1) Lie groupoid 위의 bicategory‑valued (pre‑)stack 이론, (2) 플러스 구성을 통한 2‑stackification, (3) Morita 동등성 하의 풀백 동등성이라는 세 축을 결합해, 고차 기하학적 객체들의 로컬‑글로벌 전이를 체계화한다. 이는 bundle gerbe, Jandl gerbe, 2‑vector bundle 등 다양한 고차 구조에 직접 적용 가능하며, 특히 equivariant 상황에서의 계산을 크게 단순화한다.