비하이퍼큐브 영역을 위한 맥시민 설계와 커널 보간의 이론 및 알고리즘

본 논문은 컴퓨터 실험에서 비용이 많이 드는 블랙박스 함수를 효율적으로 탐색하기 위한 설계 문제를 다룬다. 입력 공간 E가 반드시 하이퍼큐브 형태일 필요는 없으며, 경우에 따라서는 명시적인 제약식이 없고 단지 지시 함수만으로 정의될 수도 있다. 이러한 상황에서 설계 점을 어떻게 배치할 것인가가 핵심 과제이며, 저자는 두 가지 전통적인 분산 기준인 최소최대(minimax)와 최대최소(maximin)를 검토한다. 먼저, 커널 보간(특히 라디얼 베이시스 커널과 그에 대응하는 재생 커널 힐베르트 공간(HK))을 이용해 블랙박스 함수를 근사한다. 함수 f가 HK에 속한다면, 보간 함수 s_{K,X}(f)는 X에 대한 최소 노름 해이며, 점별 오차는 |f(x)−s_{K,X}(f)(x)| ≤ ‖f‖_{HK}·P_X(x) 로 표현된다. 여기서 P_X(x) = ‖K_x−∑_{i}u_i(x)K_{x_i}‖_{HK}는 MSE와 동일한 역할을 한다. 기존 연구는 P_X(x) ≤ G_K(h_X) 라는 상한을 제시했으며, h_X는 최소최대 거리(모든 x∈E가 가장 가까운 설계점까지의 최대 거리)이다. 따라서 최소최대 설계는 h_X를 작게 만들어 오차 상한을 낮춘다. 저자는 이와 유사하게, maximin 설계가 δ_X = min_{i≠j}‖x_i−x_j‖ 를 최대화함으로써 모든 x∈E가 최소 거리 δ_X 이하의 설계점과 가까워진다는 명제를 증명한다(반증법). 결과적으로 |f(x)−s_{K,X}(f)(x)| ≤ ‖f‖_{HK}·G_K(δ_X) 가 성립하고, δ_X가 0에 수렴하면 보간 오차도 일관적으로 0에 접근한다. 이는 maximin 설계가 커널 보간에 충분히 적합함을 이론적으로 뒷받침한다. 다음으로, 비하이퍼큐브 영역에서 maximin 설계를 찾기 위한 알고리즘을 제시한다. 목표 함수 U(X)=diam(E)−δ_X 를 최소화하는 것이 곧 δ_X를 최대화하는 것과 동치이다. 초기 단계에서는 거부 샘플링을 통해 E 안에 많은 후보점을 생성하고, 공분산 행렬 Σ를 계산한다. 이후 N개의 점을 무작위로 선택해 초기 설계 X^(0) 를 만든다. 시뮬레이티드 어닐링은 메트로폴리스‑위드인‑깁스(Random Scan Metropolis‑within‑Gibbs) 프레임워크를 사용한다. 매 반복마다 (i) 거리(‖x_i−x_j‖)가 작은 쌍을 선택 확률이 높게(p∝1/(distance+γ))하고, (ii) 그 쌍 중 하나를 무작위로 골라 가우시안 랜덤 워크(N(x_k, τΣ))로 새로운 후보점 x'_k 를 제안한다. 제안점이 E 밖이면 다시 샘플링한다. (iii) 제안 설계 X' 를 현재 설계 X와 비교해 수용 확률 min{1, exp