비결합 대수에서 대칭 최대 연산의 계산 규칙과 그 부분 순서 구조

초록

대칭 최대 연산은 0을 중립원소로 하고 ‑x를 x의 대칭원소로 하는 비결합 연산이다. 이 연산은 결합법칙을 잃어버리므로, 다항식 형태의 식을 평가하려면 일관된 괄호 배치를 정해야 한다. 논문은 이러한 괄호 배치를 “계산 규칙”으로 형식화하고, 5개의 기본 규칙(ρ₁–ρ₅)으로 구성된 규칙어를 정의한다. 규칙들 사이에 “더 많은 항을 삭제한다”는 기준으로 반순서를 두어, 등가 클래스들의 부분 순서(poset)를 연구한다. 결과적으로 이 poset은 비가산 무한이며, 원자와 극대 원소가 무한히 존재하고, 자연수의 멱집합(포함 관계)과 동형으로 포함된다.

상세 분석

논문은 먼저 대칭 최대 연산 ⊙(v)를 정의한다. 이는 정수 집합 ℤ 위에서 0을 중립원소로 하고, a⊙(‑a)=0을 만족하도록 설계되었으며, 양수와 음수 사이에서는 절댓값이 큰 원소를 선택한다. 그러나 (‑3)⊙(3⊙2)=0와 (‑3⊙3)⊙2=2가 서로 다르게 계산되는 것처럼 결합법칙이 깨진다. 이 비결합성을 해결하기 위해 저자들은 “계산 규칙”(computation rule)을 도입한다. 계산 규칙은 입력된 수열에서 x⊙(‑x)=0이 되는 쌍을 찾아 삭제함으로써, 남은 수열이 결합법칙을 만족하도록 만든다.

수열을 절댓값 내림차순으로 정렬하고, 각 절댓값에 대해 양(positive)과 음(negative) 원소의 개수를 (pₖ, mₖ) 형태의 튜플로 기록한다. 이때 (p₁, m₁) 중 하나가 0이면 이미 결합법칙이 성립한다. 비결합성을 일으키는 경우는 p₁>0 그리고 m₁>0인 상황이며, 이를 해소하기 위해 5개의 기본 연산 ρ₁~ρ₅를 정의한다.

• ρ₁: 가장 큰 절댓값에 대해 양원소가 2개 이상이면 하나만 남긴다.
• ρ₂: 가장 큰 절댓값에 대해 음원소가 2개 이상이면 하나만 남긴다.
• ρ₃: 가장 큰 절댓값에 대해 양·음이 동시에 존재하면 최소 개수만큼 쌍을 제거한다(동시 감소).
• ρ₄, ρ₅: 두 번째로 큰 절댓값에 대해 각각 양·음 원소를 0으로 만든다(필요시 삭제 후 인덱스 재정렬).

이 기본 연산들을 임의 순서로 조합한 문자열을 “계산 규칙”이라 부른다. 규칙이 “잘 형성된”(well‑formed) 경우, 모든 입력 수열에 대해 적용 후 남는 수열은 결합법칙을 만족한다.

다음으로 저자들은 규칙들 사이에 “삭제량”을 기준으로 반순서 ≤를 정의한다. 즉, 규칙 R₁이 R₂보다 아래에 있다는 것은 모든 수열 σ에 대해 R₁이 R₂보다 더 많은 원소를 삭제한다는 뜻이다. 이 관계는 반대칭성을 갖지 않으므로, 등가 관계 ∼(동일한 최종 결과)으로 나눈 뒤, 그 클래스들의 집합에 부분 순서 구조를 부여한다.

주요 결과는 다음과 같다.

1. 이 poset은 비가산(uncountable)이다. 저자는 각 자연수 집합 A⊆ℕ에 대응하는 규칙 R_A를 구성해, 서로 다른 A가 서로 다른 등급을 만든다는 것을 보인다.
2. 원자(atoms, 최소 비극대 원소)가 무한히 존재한다. 각 원자는 특정 절댓값 레벨에서 최초로 삭제를 수행하는 규칙으로, 서로 다른 레벨에 대해 무한히 많은 원자를 만든다.
3. 극대 원소(maximal elements)도 무한히 존재한다. 이는 더 이상 원소를 삭제할 수 없는 규칙들의 집합으로, 각 극대 원소는 특정 “삭제 패턴”을 고정시킨다.
4. 자연수의 멱집합(P(ℕ), ⊆)이 이 poset에 동형으로 포함된다. 즉, 임의의 부분집합 B⊆ℕ에 대해 B⊆C ⇔ R_B ≤ R_C가 성립한다.

이와 같이 저자들은 비결합 연산의 괄호 문제를 형식 언어와 순서 이론으로 정밀히 모델링하고, 그 구조가 얼마나 풍부한지를 보여준다. 특히, 5개의 기본 연산만으로 모든 가능한 괄호 배치를 표현할 수 있다는 정리와, 그 결과 생성되는 부분 순서가 매우 복잡하고 풍부하다는 점이 학문적 의의를 가진다.