부분 순서 메트릭 공간에서 혼합 G와 S 단조 연산자에 대한 결합 동시점 정리와 응용

본 논문은 부분 순서가 부여된 완비 메트릭 공간 \((X,d,\preceq)\)에서 새로운 유형의 연산자, 즉 “혼합 (G, S)‑단조” 연산자를 정의하고, 이 연산자에 대한 결합 동시점 및 결합 공통 고정점 존재와 유일성을 입증한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 기존의 혼합 단조 연산자 개념을 되짚어 본다. Harjani·López·Sadarangani(2010)와 같은 선행 연구에서는 연산자 \(F:X\times X\to X\)가 첫 번째 변수에 대해 비감소, 두 번째 변수에 대해 비증가하는 “혼합 단조” 성질을 가정하고, 이를 바탕으로 결합 고정점 정리를 전개하였다. 그러나 이러한 접근은 순서 변환이 항등함수일 때만 적용 가능하다는 제한이 있다. 두 번째 부분에서는 이러한 제한을 극복하기 위해 두 개의 순서 변환 함수 \(G,S:X\to X\)를 도입한다. \(G\)와 \(S\)는 각각 첫 번째와 두 번째 변수에 대한 순서 보존성을 담당한다. 구체적으로, \(x\preceq y\)이면 \(Gx\preceq Gy\)이며, \(u\preceq v\)이면 \(Su\preceq Sv\)가 성립한다. 그런 다음 연산자 \(F\)가 다음 두 조건을 만족하도록 정의한다. 1. \(x\preceq y,\; u\preceq v\)이면 \(F(x,u)\preceq F(y,v)\) (또는 반대 방향). 2. 위 순서 관계가 반대일 경우에도 \(F\)가 적절히 반대 순서를 유지한다. 이러한 정의를 “혼합 (G, S)‑단조”라 부른다. \(G=S=\operatorname{id}\)인 경우는 기존 혼합 단조 연산자의 특수 사례가 된다. 세 번째 부분에서는 고정점 존재와 유일성을 보이기 위한 핵심 도구인 **변형 거리 함수** \(\varphi,\psi\in\Omega\)를 소개한다. \(\Omega\)는 연속, 비감소, \(\varphi(t)=0\iff t=0\) 등을 만족하는 함수들의 집합이다. 저자는 다음과 같은 비선형 수축 조건을 가정한다. \