Niho형 새로운 디케이션을 이용한 p진수 시퀀스의 6값 상관 함수

논문은 먼저 p‑진수 m‑시퀀스와 그 디케이션 시퀀스 사이의 교차 상관 함수 연구의 배경을 제시한다. n=2m(짝수)인 경우, Niho형 디케이션 d가 1(mod p^m‑1) 형태이면, 원시 원소 α∈GF(p^n) 로 정의된 시퀀스 s_t=Tr_{n→1}(α^t) 와 디케이션 시퀀스 s_{dt}=Tr_{n→1}(α^{dt}) 사이의 교차 상관 함수 C_d(τ) 를 일반화된 Niho 정리를 통해 표현할 수 있다. 이 정리는 C_d(τ)=−1+(N(y)−1)·p^m 형태이며, 여기서 N(y) 는 두 개의 다항식 시스템(식 (1)과 (2))의 공통해 개수이다. 기존 연구에서는 s=(p^m+1)/2 를 선택해 d=p^{2m−1}/2+1 로 두면, N(y) 가 0,1,2 중 하나가 되며, 교차 상관값이 네 가지(또는 경우에 따라 다섯 가지)로 제한된다. 이때 상관값의 절대 크기는 2·p^m−1 이하가 된다. 본 논문은 새로운 선택 s=(p^m−1)/2 를 도입한다. 이에 따라 디케이션 인자 d는 d = (p^m−1)^2/2 + 1 = p^m−1/2·(p^m−1) + 1 이 된다. 이 d 역시 1(mod p^m−1) 형태이므로 Niho 정리를 적용할 수 있다. 식 (1)과 (2)는 각각 x^3 + y^{p^m}x^2 + yx + 1 = 0, x^{p^m+1}=1 x^3 − y^{p^m}x^2 − yx + 1 = 0, x^{p^m+1}=−1 으로 변형된다. 각 식은 차수가 3이므로 해의 개수 N_1(y), N_{−1}(y) 가 0~3 사이에 있다. 따라서 N_1(y)+N_{−1}(y) 가 최대 6이지만, 논문은 N_1(y)=N_{−1}(y)=3 인 경우를 가정하고 모순을 도출한다. 구체적으로, 각 해는 α^{j_i(p^m−1)} (짝수 지수) 혹은 α^{j_i^*(p^m−1)} (홀수 지수) 형태로 표현될 수 있다. 두 식을 곱하면 전체 곱이 1이 되므로 p^m+1 가 짝수인 반면, 지수 합은 홀수가 되어 모순이 발생한다. 따라서 N_1(y)+N_{−1}(y)=6 은 불가능하고, 실제 가능한 최대값은 5이다. 결과적으로 교차 상관값은 C_d(τ) ∈ {−1 + (j−1)·p^m | 0 ≤ j ≤ 5} 의 여섯 값만을 가질 수 있다. 여기서 j=0이면 C_d(τ)=−1−p^m, j=5이면 C_d(τ)=−1+4·p^m 이다. 따라서 절대값 상한은 |C_d(τ)| ≤ 4·√(p^n)−1 로, 기존 결과보다 약간 더 넓지만 여전히 실용적인 범위에 있다. 논문은 또한 d가 항상 m‑시퀀스를 생성하지는 않음을 언급한다. d와 p^n−1 의 최대공약수가 1이면 디케이션 시퀀스는 m‑시퀀스가 되지만, p≡−1(mod 3) 이고 m이 홀수인 경우 gcd(d, p^n−1)=3 이 되어 m‑시퀀스가 아니다. 실험 예시로 p=3, n=6, m=3, d=339 를 사용하였다. 원시 다항식 f(x)=x^6+x^5+2 로부터 α를 선택하고, s_t와 s_{dt} 를 계산한 결과, 교차 상관값이 정확히 여섯 가지(−1−27, −1, −1+27, −1+2·27, −1+3·27, −1+4·27) 로 나타났으며, 각 값의 발생 횟수도 보고되었다. 마지막으로 논문은 새로운 Niho형 디케이션 d가 기존의 d와 구조적으로 유사하지만, 교차 상관값의 다중값성을 여섯으로 확장함을 강조한다. 이는 시퀀스 설계에서 더 다양한 파라미터 선택을 가능하게 하며, 특히 통신 및 암호 시스템에서 상관값이 제한된 범위 내에 머무는 것이 요구되는 상황에 유용하게 적용될 수 있다.