균형 절단 속성으로 보는 그래프의 준무작위성 완전 해답

초록

Shapira와 Yuster가 제시한 “k‑분할 균형 절단” 조건이 모든 파트가 같은 크기(1/k,…,1/k)일 때도 그래프를 준무작위로 만든다는 것을, 본 논문은 그래프 한계 이론과 정규성 보조정리를 이용해 증명한다.

상세 요약

본 연구는 그래프의 준무작위성을 판정하는 새로운 기준인 “균형 절단 속성(balanced cut property)”을 심도 있게 탐구한다. 기존 결과는 파라미터 α₁,…,α_k가 서로 다르거나 적어도 하나가 1/k와 다를 때, 즉 파트 크기가 균등하지 않을 경우에만 해당 속성이 그래프를 준무작위로 만든다고 보였다. 그러나 (α₁,…,α_k) = (1/k,…,1/k)인 완전 균등 파티션에 대해서는 증명이 미비했으며, 이는 Shapira‑Yuster와 Janson이 제기한 핵심 열린 문제였다.

논문은 먼저 그래프 한계(graphon) 프레임워크를 도입한다. 그래프 한계는 대규모 그래프의 구조를 연속적인 함수 W: