일부 0/1 폴리토프는 지수적 크기의 확장 형식이 필요

초록

이 논문은 n 차원 0/1 공간에서 임의의 정수 n에 대해, 어떤 X⊆{0,1}ⁿ가 존재하여 그 볼록껍질 conv(X)의 확장 복잡도가 최소 2^{n/2·(1‑o(1))}임을 보인다. 즉, conv(X)를 선형 사상으로 투사할 수 있는 모든 다면체 Q는 지수적으로 많은 면을 가져야 한다. 동일한 하한은 매트로이드 폴리토프에도 적용되며, NP⊈P/poly 가정 하에 TSP 폴리토프에도 압축된 LP 형식이 존재하지 않음을 의미한다.

상세 분석

연장(extended) 형식은 복잡한 다면체 P를 고차원에 있는 보다 단순한 다면체 Q로 표현하고, 선형 사상을 통해 P를 복원하는 기법이다. Q의 면 수가 작을수록 “컴팩트”한 LP 모델이라고 할 수 있다. 기존 연구에서는 매트로이드 폴리토프, 완전 이분 그래프 매칭 폴리토프 등 특정 구조를 가진 다면체에 대해 다항식 크기의 연장이 존재함을 보였지만, 일반적인 0/1 폴리토프에 대한 하한은 거의 알려지지 않았다. 본 논문은 확장 복잡도(extension complexity)를 정보 이론적 관점에서 접근한다. n 차원 0/1 큐브에는 2^{2^{n}}개의 서로 다른 부분집합 X가 존재한다. 반면, k개의 면을 가진 다면체 Q는 그 정의에 사용되는 계수들의 비트 길이가 제한적이므로, 가능한 Q의 총 개수는 2^{O(k·poly(n))}에 불과하다. 따라서 k가 다항식 수준이면, 모든 0/1 폴리토프를 포괄할 만큼 충분한 Q가 존재하지 않는다. 이를 정량화하면, 어떤 X에 대해 conv(X)의 확장 복잡도가 최소 2^{n/2·(1‑o(1))}임을 얻는다. 증명 과정에서 중요한 도구는 행렬 통신 복잡도와 슬랙 행렬의 비트 복잡도이다. 슬랙 행렬의 비트 수가 작을수록 작은 연장이 가능하지만, 무작위로 선택된 X에 대해 슬랙 행렬은 거의 최대 엔트로피를 갖는다. 또한, 매트로이드 폴리토프에 대한 동일한 카운팅 논증을 적용함으로써, 매트로이드 구조가 복잡성을 크게 낮추지 못한다는 점을 확인한다. 마지막으로, NP⊈P/poly 라는 복잡도 가정을 이용해, TSP 폴리토프 역시 이러한 무작위 0/1 폴리토프와 동등한 하한을 갖는다고 보여, 실수 계수를 허용하더라도 다항식 크기의 LP 형식이 존재할 가능성을 배제한다. 이 결과는 연장 형식 연구에 있어 “대다수”의 0/1 폴리토프가 본질적으로 복잡하다는 강력한 증거를 제공한다.