시간상관성을 활용한 반복 가중치 기반 희소 신호 복구

초록

본 논문은 다중 측정 벡터(MMV) 문제에서 기존 반복 가중치 알고리즘이 무시해 온 소스 벡터들의 시간적 상관성을 모델링한다. 블록 희소 베이지안 학습(bSBL) 프레임워크를 기반으로 Mahalanobis 거리 기반 가중치를 도입한 새로운 반복 가중치 SBL 알고리즘(ReSBL‑QM)을 제안하고, 이를 이용해 기존 ℓ₂ 가중치 방법(M‑FOCUSS, Iter‑L2)을 수정한다. 이론적 분석과 시뮬레이션을 통해 제안 방법이 시간 상관성이 강한 경우에도 우수한 복구 성능을 보임을 입증한다.

상세 분석

본 연구는 MMV 모델 Y = ΦX + V에서 행(row) 단위의 공통 희소성을 가정하면서, 각 행 X_i· 이 시간에 따라 상관된 L‑차원 벡터임을 고려한다. 기존의 반복 가중치 ℓ₂ 알고리즘은 행의 ℓ₂ 노름만을 가중치로 사용해 시간 상관성을 반영하지 못해, 상관도가 높은 소스가 존재할 경우 복구 정확도가 급격히 저하된다. 저자들은 블록 희소 베이지안 학습(bSBL)에서 각 행을 다변량 정규분포 N(0, γ_i B) 로 모델링하고, 모든 행에 동일한 공분산 행렬 B를 도입함으로써 과적합을 방지한다. 이때 γ_i 는 행의 활성화 정도를 제어하는 하이퍼파라미터이며, B는 전체 소스의 시간 상관 구조를 포착한다.

비대칭 가중치 ℓ₂ 프레임워크(식 2)를 비용 함수 L(Θ) 에 대입하고, 듀얼리티 이론을 활용해 원본 소스 공간 x 에 대한 상한을 도출한다. 그 결과, 가중치 1/γ_i 가 행 x_i 에 대한 Mahalanobis 거리 x_iᵀ B⁻¹ x_i 에 비례함을 확인한다. 따라서 기존 ℓ₂ 가중치를 단순 ℓ₂ 노름 대신 Mahalanobis 거리로 대체하면, 시간 상관성을 자연스럽게 반영한 비분리형(re‑nonseparable) 가중치 업데이트가 가능해진다.

구체적인 알고리즘은 다음과 같다. (1) 현재 B와 γ 값을 이용해 Σ₀ = Γ⊗B 를 구성하고, X = W Φᵀ(λI + ΦWΦᵀ)⁻¹Y 로 업데이트한다. (2) γ_i 는 γ_i = (1/L)