1 플래너 그래프에서 최대 차수가 6·7인 클래스 II 예시 구축

초록

본 논문은 1‑플래너 그래프 중 최대 차수가 6 또는 7인 경우에도 클래스 II(χ′=Δ+1) 그래프가 존재함을 보인다. 두 개의 구체적인 그래프 G₁(Δ=6)와 G₂(Δ=7)를 제시하고, 독립 간선 수 α₀와 크기 m을 이용한 Lemma 1(m>α₀·Δ)으로 클래스 II임을 증명한다. 또한, 각 그래프에서 2‑차 정점을 제거하고 이웃을 연결하면 6‑정규·7‑정규 1‑플래너 그래프를 얻을 수 있음을 언급한다.

상세 분석

1‑플래너 그래프는 평면에 그릴 때 각 간선이 최대 한 번만 교차하도록 허용된 그래프 클래스로, Ringel이 처음 정의하였다. 이러한 그래프에 대한 색채 이론은 특히 정점·면 색칠 문제와 연계되어 활발히 연구돼 왔다. 본 논문은 그 중에서도 가장 기본적인 엣지 색칠 문제, 즉 Vizing의 정리(χ′(G)=Δ(G) 혹은 Δ(G)+1)에 초점을 맞춘다. 기존 연구에서는 Δ≥10이면 1‑플래너 그래프가 항상 클래스 I(χ′=Δ)이라는 결과가 알려져 있었으며, Δ≥8(인접 삼각형 없음) 혹은 Δ≥7(삼각형 없음) 등 추가적인 구조적 제한 하에서도 클래스 I임이 증명되었다. 그러나 Δ가 7 이하일 때는 일반적인 결론이 없으며, 실제로 클래스 II인 예시가 존재하는지 여부가 미해결 문제였다.

논문은 이 공백을 메우기 위해 두 개의 구체적인 그래프 G₁과 G₂를 설계한다. G₁은 정점 수 25, 간선 수 73이며, 대부분의 정점이 차수 6을 갖고 단 하나의 2‑차 정점만 존재한다. G₂는 정점 수 28, 간선 수 85이며, 대부분이 차수 7이고 역시 2‑차 정점이 하나 있다. 두 그래프 모두 1‑플래너 임을 그림(그림 1)으로 보여준다.

클래스 II임을 증명하기 위해 Lemma 1(“m > α₀·Δ이면 G는 클래스 II”)을 활용한다. 여기서 α₀(G)는 독립 간선 집합의 최대 크기이며, 일반적으로 α₀(G) ≤ ⌊n/2⌋(n은 정점 수)라는 부등식이 성립한다. G₁의 경우 n=25이므로 α₀(G₁) ≤ 12이며, Δ(G₁)=6이므로 α₀·Δ ≤ 72이다. 실제 간선 수 m=73이 이를 초과하므로 Lemma 1에 의해 G₁은 클래스 II이다. G₂도 동일한 방식으로 α₀(G₂) ≤ 14, Δ(G₂)=7, α₀·Δ ≤ 98이지만 실제 m=85가 α₀·Δ(=84)보다 크므로 역시 클래스 II임을 확인한다.

흥미로운 점은 이 두 그래프에서 2‑차 정점을 제거하고 그 이웃 두 정점을 직접 연결하면 각각 6‑정규·7‑정규 1‑플래너 그래프를 얻을 수 있다는 것이다. 이는 기존에 알려진 5‑정규 평면 그래프(클래스 II)와 유사한 구조적 변형을 보여준다. 특히, 7‑정규 1‑플래너 그래프는 Fabrici와 Madaras가 제시한 예시와 동일함을 언급함으로써, 본 논문의 결과가 기존 문헌과 일치함을 확인한다.

결과적으로, 논문은 “Δ ≤ 7인 모든 1‑플래너 그래프는 클래스 II가 될 수 있다”는 강력한 존재론적 명제를 제시한다. 이는 Δ≥8에 대한 기존의 클래스 I 추측과 대비되는 사례를 제공하며, 1‑플래너 그래프의 엣지 색칠 문제에 대한 이해를 한층 깊게 만든다. 또한, Lemma 1을 이용한 간단한 크기-독립간선 수 비교 방식이 복잡한 구조 분석 없이도 클래스 II임을 판정할 수 있음을 보여, 향후 더 큰 차수나 다른 제한조건을 가진 1‑플래너 그래프의 클래스 구분에도 적용 가능성을 시사한다.