공간적 출력 모델의 전역 민감도 분석

초록

본 논문은 공간적으로 분포된 모델 출력을 대상으로 Sobol’ 민감도 지수를 효율적으로 추정하는 새로운 방법을 제시한다. 출력 데이터를 웨이브릿 기저함수로 분해하고, 각 계수를 가우시안 프로세스 메타모델로 근사함으로써 최소한의 시뮬레이션으로 전체 공간에 대한 Sobol’ 지수 지도를 얻는다. 분석 예제와 실제 수문지질 사례를 통해 방법의 정확성과 실용성을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 Sobol’ 민감도 분석이 주로 스칼라 출력에 적용되는 한계를 극복하고자, 공간적으로 연속된 출력(예: 지하수위, 오염물 농도 지도)을 다루는 새로운 프레임워크를 설계하였다. 핵심 아이디어는 먼저 모델의 공간 출력 (Y(\mathbf{s})) 를 다중 해상도 웨이브릿 기저 ({\psi_k(\mathbf{s})}) 에 투영하여 (Y(\mathbf{s})=\sum_{k=1}^{K} \beta_k \psi_k(\mathbf{s})) 와 같이 표현하는 것이다. 웨이브릿 변환은 지역적·전역적 변동을 동시에 포착하면서 차원 축소 효과를 제공한다. 이후 각 계수 (\beta_k) 에 대해 가우시안 프로세스(GP) 메타모델을 구축한다. GP는 입력 변수 (\mathbf{X}) 와 계수 (\beta_k) 간의 비선형 관계를 확률적 방식으로 학습하며, 베이지안 추론을 통해 예측 불확실성을 정량화한다. 메타모델이 확보되면, 기존 Sobol’ 지수의 정의를 그대로 적용해 (\beta_k) 별 1차·2차 민감도 지수를 계산하고, 이를 웨이브릿 기저에 역투영하여 공간 전역에 걸친 Sobol’ 지도 (S_i(\mathbf{s})) 를 얻는다. 이 과정은 원본 모델을 직접 실행하지 않고도 전체 공간에 대한 민감도 정보를 제공한다는 점에서 계산 효율성이 크게 향상된다. 논문은 먼저 1차원 함수 (f(x)=\sin(2\pi x)+0.5x) 에 대한 분석적 예시를 통해 단계별 절차와 오차 특성을 검증한다. 이어서 실제 수문지질 모델(지하수 흐름·오염물 전파)에서 10개의 입력 파라미터(투수성, 전도도, 경계조건 등)를 대상으로 200회의 시뮬레이션만으로 GP 메타모델을 학습하고, 각 파라미터에 대한 공간 Sobol’ 지도를 생성한다. 결과는 기존 전역 민감도 분석과 비교했을 때, 주요 민감 파라미터가 동일하게 도출되면서도 지역별 중요도가 상세히 드러나는 장점을 보여준다. 또한, 메타모델의 예측 불확실성(신뢰구간)도 함께 제공되어 의사결정 과정에서 위험 평가에 활용 가능하다. 이와 같이 웨이브릿‑GP 기반 접근법은 고차원·고해상도 공간 출력 모델에 대한 전역 민감도 분석을 실용적으로 수행할 수 있는 새로운 도구로 자리매김한다.