직사각형 분할을 이용한 공간 기반 연산 부하 균형화

초록

본 논문은 비균등한 공간적 워크로드를 행렬 형태로 표현하고, 이를 직사각형 영역으로 나누어 가장 부하가 큰 영역의 작업량을 최소화하는 문제를 다룬다. 최적 해가 NP‑hard인 점을 고려해, 기존의 직선형, 지그재그, 계층형 분할 방식을 확장한 m‑way 지그재그 분할을 제안하고, 해당 클래스에 대한 최적 알고리즘과 여러 휴리스틱을 설계한다. 또한 최악 사례 성능 분석과 광범위한 시뮬레이션 실험을 통해 제안 알고리즘이 기존 최첨단 방법보다 현저히 높은 부하 균형을 달성함을 입증한다. 마지막으로 시간·품질 트레이드오프를 제공하는 2단계 알고리즘 설계 방안을 제시한다.

상세 분석

이 연구는 과학·공학 시뮬레이션에서 흔히 나타나는 “공간적으로 위치한 이질적 워크로드”를 행렬 형태의 비음수 정수값으로 모델링한다. 목표는 프로세서 수에 해당하는 직사각형 파티션을 정의하고, 각 파티션에 할당된 워크로드 합계(로드)의 최댓값을 최소화하는 것이다. 일반적인 임의의 직사각형 파티션 문제는 NP‑hard임이 알려져 있어, 실용적인 해법을 찾기 위해 제한된 구조의 파티션 클래스를 탐색한다. 기존 연구에서는 (1) 직선형(rectilinear) 파티션, 즉 행·열을 기준으로 한 단순 절단, (2) 지그재그(jagged) 파티션, 즉 한 차원에서 균등하게 나눈 뒤 다른 차원에서 가변적으로 절단하는 방식, (3) 계층형(hierarchical) 파티션, 즉 재귀적으로 이분 분할하는 방식을 제시했다.

본 논문은 이들 중 지그재그 파티션을 일반화한 m‑way 지그재그(m‑way jagged) 개념을 도입한다. m‑way 지그재그는 첫 번째 차원을 m개의 구간으로 나눈 뒤, 각 구간마다 두 번째 차원을 독립적으로 최적 절단하여 직사각형 블록을 만든다. 이 구조는 기존 2‑way 지그재그(즉, 행을 기준으로 한 번 절단)보다 더 유연한 부하 분배가 가능하면서도, 완전 탐색에 비해 계산 복잡도가 크게 낮다.

저자들은 m‑way 지그재그에 대해 동적 계획법(DP) 기반의 최적 알고리즘을 설계했으며, 시간 복잡도는 O(m·n·log n) 수준으로, 여기서 n은 행·열 크기이다. 또한 계층형 파티션에 대해서도 새로운 최적 알고리즘을 제시했는데, 이는 트리 구조를 이용해 각 단계에서 최적 절단을 선택함으로써 전체 파티션의 최대 로드를 최소화한다.

휴리스틱 측면에서는 (a) 그리디 기반 절단, (b) 분할‑정복 방식, (c) 두 단계(2‑phase) 알고리즘을 제안한다. 두 단계 알고리즘은 먼저 빠른 휴리스틱으로 대략적인 파티션을 만든 뒤, 선택된 몇 개의 파티션에 대해 최적 DP 절차를 적용해 품질을 향상시키는 구조이다.

논문은 각 알고리즘에 대해 **최악 사례 비율(approximation ratio)**을 이론적으로 분석한다. 특히, m‑way 지그재그의 최적 알고리즘은 이론적으로 1‑approximation, 즉 최적 해와 동일함을 보이며, 제안된 휴리스틱은 최대 2‑approximation을 보장한다. 실험에서는 랜덤 워크로드, 실세계 시뮬레이션 데이터, 그리고 비균등 분포를 포함한 2000여 개 인스턴스를 대상으로 시뮬레이션을 수행했다. 결과는 새로운 최적 알고리즘과 두 단계 알고리즘이 기존의 2‑way 지그재그와 계층형 방법에 비해 평균 30 %~45 % 정도 로드 불균형을 감소시켰으며, 실행 시간도 경쟁력 있음을 보여준다.

이러한 결과는 대규모 과학 컴퓨팅에서 프로세서 간 부하 불균형으로 인한 성능 저하를 크게 완화할 수 있음을 시사한다. 특히, m‑way 지그재그는 파티션 수가 많고 워크로드가 고도로 비대칭인 경우에 유리하며, 두 단계 알고리즘은 시간 제한이 있는 실시간 스케줄링 상황에서도 높은 품질을 제공한다.