2차원 무작위 패턴 생성: 델로네와 보로노이 기반 새로운 방법

초록

본 논문은 2차원 평면에 무작위 점들을 배치하고, 그 점들로부터 얻은 델로네 삼각분할 혹은 보로노이 다이어그램의 셀 면적을 평균과 비교하여 0·1 이진열을 생성하는 방식을 제안한다. 생성된 시퀀스와 이를 이용한 2D 이미지 패턴은 자동상관 및 Diehard 테스트에서 기존의 의사난수(PN, d‑sequence)보다 우수한 무작위성을 보이며, 길이에 따라 안정적인 통계적 특성을 유지한다.

상세 분석

이 논문은 기존의 의사난수(PN sequence)와 소위 d‑sequence(소수의 역수를 2진수로 전개한 것)의 한계를 지적하고, 물리적 난수 발생에 가까운 새로운 난수 생성 메커니즘을 제시한다. 핵심 아이디어는 2차원 평면에 난수 발생기(RNG)로부터 얻은 (x, y) 좌표를 N개 생성하고, 이 점 집합에 대해 델로네 삼각분할(Delaunay triangulation) 혹은 보로노이 다이어그램(Voronoi diagram)을 구성한다는 것이다.

델로네 삼각분할에서는 각 삼각형의 면적을 계산하고, 전체 삼각형 면적의 평균값 μ와 비교한다. 면적이 μ보다 크면 1, 작으면 0을 할당한다. 보로노이 다이어그램에서는 무한히 뻗는 에지를 작업 평면(예: 0~20) 안으로 클리핑하고, 각 폴리곤(셀)의 면적을 동일하게 평균과 비교해 0·1 비트를 만든다. 이렇게 얻어진 비트열은 점의 배치와 삼각형·셀 구조에 강하게 의존하므로, 입력 RNG가 동일하더라도 삼각분할·보로노이 연산의 비선형성 때문에 다음 비트를 예측하기가 실질적으로 불가능해진다.

통계적 검증으로는 자동상관 함수와 Diehard 테스트를 사용한다. 자동상관 결과는 길이가 짧은 경우(예: 184비트)에도 0±0.2 수준의 잡음만을 보이며, 길이가 1982비트로 증가하면 ±0.1 이내로 수렴한다. 이는 이론적인 최대 길이 시퀀스에서 기대되는 “δ‑함수형” 상관과 일치한다. Diehard 테스트에서는 Java Random, SHA‑1 기반 RNG와 비교했을 때, Runs test, Squeeze test, Min‑distance, 1‑count, Birthday spacing, Binary rank 등 다수의 서브테스트에서 p‑값이 0.05~0.9 사이에 머물며, 전반적으로 통계적 균등성을 만족한다. 특히, 1‑count 테스트에서 매우 높은 χ² 값이 나오지만 이는 시퀀스 길이가 매우 크고 비트 비율이 0.5에 가깝기 때문으로 해석된다.

2차원 패턴 생성 단계에서는 위에서 얻은 이진열을 행·열 순서대로 매핑하여 흑백 이미지(예: 128×64, 256×256)를 만든다. 여러 개의 서로 다른 시퀀스를 병합하거나 단일 시퀀스로 전체 픽셀을 채우는 방식 모두 적용 가능하며, 결과 이미지의 2D 자동상관 역시 중앙값 1을 제외하고 ±0.1 이내의 작은 값들을 보인다. 이는 이미지가 시각적으로도 무작위성을 띠며, 특정 주기나 구조적 패턴이 존재하지 않음을 의미한다.

이 방법의 장점은 (1) 기존의 선형·주기적 난수 생성 방식과 달리 기하학적 비선형 변환을 이용해 높은 복잡도를 제공한다는 점, (2) 입력 점 수 N에 따라 생성 가능한 비트 수가 O(N) 혹은 O(2N) 수준으로 조절 가능해 다양한 응용(암호, 스크램블링, 시뮬레이션 등)에 유연하게 적용할 수 있다는 점, (3) 구현이 비교적 간단하며 MATLAB이나 Java와 같은 일반적인 프로그래밍 환경에서 바로 적용 가능하다는 점이다. 다만, 점이 일직선이나 원 위에 놓이는 경우(극히 드물게) 삼각분할·보로노이 구조가 정상적으로 형성되지 않을 수 있다는 제한점이 명시된다.

전체적으로 이 논문은 기하학적 구조를 활용한 난수 생성이라는 새로운 패러다임을 제시하고, 실험적 통계 검증을 통해 기존 의사난수보다 우수한 무작위성을 입증한다. 향후 보안성 평가, 하드웨어 가속(GPU 기반 삼각분할) 및 고차원(3D) 패턴 확장 등에 대한 연구가 기대된다.