다양성 활용으로 효율적인 희소 다항식 보간

논문은 희소 다항식 보간 문제를 두 가지 설정—큰 유한체 위와 복소수 근사값 위—에서 다루며, 기존 연구가 직면한 두 가지 핵심 난관을 해결한다. 첫째, 유한체 경우에는 Garg‑Schost(2009) 알고리즘이 대칭 정수 다항식의 계수를 구하고 이를 정수 루트 찾기로 지수를 복원하는 과정에서 높은 연산량과 큰 계수 크기를 초래한다. 둘째, 복소수 근사값 경우에는 기존 방법이 단위 원주 상의 고차근을 평가점으로 사용해 수치적 불안정성을 야기한다. 이를 위해 저자들은 “다양화(diversification)”라는 새로운 무작위 변환을 도입한다. 구체적으로, 무작위 스칼라 α∈F* (또는 복소수 단위 원 위의 무작위 회전) 를 선택해 원다항식 f(x) 를 f(αx) 로 변환한다. 이 변환은 거의 확률적으로 모든 비영 계수를 서로 다르게 만든다(“다양한” 다항식). 다양화된 다항식에서는 각 항의 계수가 고유하므로, 지수 복원 과정에서 대칭 다항식의 계수를 구할 필요가 없으며, 직접적으로 지수 집합을 복원할 수 있다. 유한체 환경에서는 “좋은 소수(good prime)” 개념을 활용한다. 작은 소수 p에 대해 f(x) mod (x^p−1) 를 계산하고, p가 좋은 경우 각 항의 지수가 서로 다른 잔여를 가진다. Lemma 2.1은 λ≈max(21, (5/3)·t(t−1)·ln d) 로 정의된 구간에서 무작위로 선택된 소수가 좋은 소수가 될 확률이 ≥½임을 보인다. 따라서 Õ(t² log d) 개의 소수를 샘플링하면 충분히 많은 좋은 소수를 확보할 수 있다. 각 좋은 소수에 대해 remainder black‑box를 이용해 f mod (x^p−1) 를 얻고, 다양화된 계수를 이용해 지수를 직접 추출한다. 이 과정은 루트 찾기나 대칭 다항식 계수 계산을 필요로 하지 않으며, 전체 복잡도는 Õ(` t² log² d) 로 감소한다. 라스베가(Las Vegas) 성격을 갖는 무작위 선택 덕분에 성공 확률이 1−δ 로 조정 가능하고, 실패 시 재시도하면 확정적인 결과를 얻는다. 복소수 근사값 경우에는 ε‑approximate black‑box를 정의하고, 목표는 ‖f−g‖₂ ≤ ε‖f‖₂ 를 만족하는 t‑sparse g를 찾는 것이다. 여기서도 다양화는 무작위 회전 θ∈