콜모고로프 복잡성의 공리적 체계 탐구

초록

본 논문은 셴이 제시한 네 가지 기본 성질이 평범한 콜모고로프 복잡성을 완전히 규정한다는 결과를 바탕으로, 그 공리 체계를 약화시킬 수 없는지 검증하고, 조건부 복잡성에 대한 유사 체계를 제시한다. 이어서 전위 자유(prefix‑free) 복잡성에 대한 공리적 접근을 시도하지만, 자연스러운 아날로그가 해당 복잡성을 정확히 규정하지 못함을 보인다.

상세 분석

셴(Shen, 1982)의 결과는 “plain Kolmogorov complexity K(x)”가 네 가지 공리, 즉 (1) 비음수와 정수성, (2) 부분함수적 정의, (3) 정보의 가감 법칙, (4) 상수 차이의 불변성에 의해 유일하게 결정된다는 점을 보여준다. 저자는 이 네 공리를 각각 최소한의 형태로 유지하면서도 약화시키는 시도를 체계적으로 검토한다. 첫 번째 시도는 (3) 정보 가감 법칙을 “대수적 상수” 대신 “점근적 상수”로 완화하는 것이었지만, 이를 만족하는 함수는 K와 상수 차이 이하로만 구분될 수 없으며, 실제로는 K와 동등하지 않은 비표준 복잡도 함수가 존재함을 보인다. 두 번째 시도는 (4) 불변성 공리를 “다항식 차이” 수준으로 완화하는 것이었는데, 이 경우에도 복잡도 함수가 K와 다르게 행동하는 예시를 구성한다. 따라서 셴의 네 공리는 서로 독립적이며, 각각을 자연스럽게 약화시키면 기존의 K와 동등한 체계가 무너지게 된다.

조건부 복잡도 K(x|y)에 대한 확장에서는, 셴의 공리를 조건부 버전으로 재정의한다. 여기서는 (1)–(4) 각각에 “조건부”라는 매개변수를 추가하고, 특히 (3) 정보 가감 법칙을 “K(x|y) ≤ K(x,z|y) + O(1)” 형태로 일반화한다. 저자는 이 공리 체계가 K(x|y)를 유일하게 규정함을 증명하고, 기존의 K와 마찬가지로 약화가 불가능함을 다시 한 번 확인한다.

마지막으로 전위 자유 복잡도 K⁺(x)에 대한 공리 체계를 모색한다. 전위 자유 복잡도는 앞서 언급된 네 공리의 전위 자유 버전(예: 부분함수성 대신 전위 자유 인코딩, 불변성은 상수 차이가 아니라 상수 배 차이 등)으로 정의하려 했지만, 저자는 이러한 자연스러운 변형이 K⁺를 완전히 규정하지 못함을 보인다. 구체적으로, 전위 자유 인코딩을 만족하면서도 K⁺와 상수 차이 이하가 아닌, 로그 차이 정도만 차이나는 함수들이 존재한다는 반례를 제시한다. 이는 전위 자유 복잡도가 “정보 가감 법칙”과 “불변성”에 대해 보다 미묘한 제약을 필요로 함을 시사한다. 전체적으로 논문은 셴의 공리 체계가 plain 및 conditional Kolmogorov 복잡도에 대해 최적이며, prefix‑free 복잡도에 대해서는 새로운 공리적 접근이 필요함을 강조한다.