최대 합집합 자유 부분가족의 크기

본 논문은 “합집합‑자유”라는 고전적인 조합 문제에 대한 완전한 해답을 제시한다. 문제의 배경은 Moser가 1960년대에 제기한 것으로, 임의의 m개의 집합이 주어졌을 때, 세 집합 A, B, C 중 A∪B = C가 되는 경우가 전혀 없도록 할 수 있는 최대 부분가족의 크기를 묻는다. 기존에는 √m 차수의 하한만 알려졌으며, 정확한 상한에 대한 추정은 미해결 상태였다. 논문은 먼저 기본 개념과 선행 연구를 정리한다. 합집합‑자유 집합 가족은 “union‑free”라고도 불리며, 이는 집합 시스템의 독립성을 측정하는 한 방법이다. Erdős와 Shelah는 1972년에 이 문제에 대해 “⌊√(4m+1)⌋−1” 정도의 하한이 가능하리라 추측했지만, 증명은 없었다. 또한, a‑union‑free(즉, a+1개의 집합 중 하나가 나머지 a개의 합집합이 되는 경우를 금지) 일반화에 대해서는 Barat·Füredi·Kantor·Kim·Patkos가 차수 Θ(m^{1/a})의 상한‑하한 일치를 기대했다. 주요 결과는 두 가지 정리로 구성된다. **정리 1**: 임의의 집합 가족 ℱ가 m개의 원소를 포함한다면, ℱ는 크기가 \