반율 가산 코드와 방향 그래프의 새로운 연결

초록

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본 논문은 GF(4) 위의 (n, 2ⁿ) 가산 코드를 방향 그래프로 정확히 표현할 수 있음을 증명하고, 이를 이용해 길이 7 이하의 코드를 전면 분류한다. 또한 순환·경계 순환 방향 그래프 코드를 제시해 언제나 이소듀얼임을 보이고, 길이 26까지의 탐색을 통해 기존 최적 자기듀얼 코드보다 큰 최소 거리의 새로운 형식 자기듀얼·이소듀얼 코드를 발견한다.

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상세 분석

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GF(4) 위의 (n, 2ⁿ) 가산 코드는 2진 선형 공간에 4진 원소를 부여한 구조로, 자기듀얼(자기정규) 코드는 기존 연구에서 무방향 그래프와 일대일 대응이 있음을 알려졌다. 이 논문은 그 대응을 일반화하여 방향 그래프와의 동형성을 증명한다. 구체적으로, n개의 정점과 n×n 인접 행렬 A(0,1) 로 구성된 방향 그래프 G에 대해, 코드의 생성 행렬을 I + ωA 로 정의하면, 여기서 ω는 GF(4) 의 원시 원소(ω² = ω + 1)이며, 이 행렬이 (n, 2ⁿ) 가산 코드를 완전하게 기술한다. 이 표현은 코드 등가성(열 교환·GL(2, GF(4)) 변환)과 그래프 동형성(정점 순열·반전) 사이의 일대일 대응을 제공한다.

이러한 그래프 기반 표현은 코드의 최소 거리와 가중치 분포를 그래프 이론적 성질(예: 사이클 길이, 강한 연결성)과 직접 연결시켜, 전통적인 행렬 연산보다 분류 복잡도를 크게 낮춘다. 논문은 먼저 n ≤ 7 범위에서 모든 비등가 방향 그래프를 열거하고, 각 그래프에 대응하는 코드를 생성해 등가 클래스를 구분한다. 그 결과, 기존에 알려진 자기듀얼 코드와는 별도로, 이소듀얼(코드가 자신의 듀얼과 등가) 및 형식 자기듀얼(가중치 열이 듀얼과 동일) 코드의 전체 분류표를 얻는다.

특히 순환 방향 그래프와 그 변형인 경계 순환 그래프를 이용한 새로운 구성법을 제시한다. 순환 그래프는 인접 행렬이 순환 행렬 형태를 띠며, 경계 순환 그래프는 추가적인 열을 삽입해 대칭성을 강화한다. 저자는 이러한 구조가 언제나 이소듀얼임을 증명하고, 이를 기반으로 길이 8부터 26까지의 코드를 전산 탐색한다. 탐색 결과, 길이 11·13에서 기존에 알려진 최적 형식 자기듀얼 코드보다 최소 거리가 1씩 큰 새로운 코드를 발견했으며, 길이 24·25·26에서는 현재 최고 알려진 자기듀얼 코드보다 최소 거리가 1~2 증가한 이소듀얼 코드를 확보했다. 이는 방향 그래프 표현이 코드 설계와 최적화에 강력한 도구임을 실증한다.

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