거친 파열면 유동 분석: 격자볼츠만법과 복합 네트워크 접근

초록

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본 연구는 실제 화강암 관절을 전단하면서 레이저 스캔으로 얻은 개구면 데이터를 이용해 격자볼츠만법(LBM)으로 유체 흐름을 시뮬레이션하고, 개구 프로파일을 복합 네트워크로 변환해 네트워크 지표와 투과성 변화의 상관관계를 분석한다. LBM 결과는 실험 투과성과 높은 일치를 보였으며, 네트워크의 특성 길이와 엣지 수가 투과성 변화를 동일한 추세로 따라갔다.

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상세 분석

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이 논문은 두 가지 혁신적인 방법론을 결합하여 거친 파열면 내 유체 흐름의 복합성을 정량화한다. 첫 번째는 2차원 단일 완화시간 격자볼츠만법(D2Q9)으로, 입자 분포함수의 스트리밍‑충돌 과정을 통해 비압축성 흐름을 직접 계산한다. 충돌 연산자는 Bhatnagar‑Gross‑Krook(BGK) 형태의 단일 완화시간 τ를 사용하며, τ와 격자 속도 cs 사이의 관계식 ν = (τ − 0.5)cs²Δt/3을 통해 점성계수를 도출한다. 경계조건은 압력 구배에 의해 유도된 외력으로 설정하고, 평균 속도 변화율이 10⁻⁹ 이하가 되면 정상상태에 도달한 것으로 판단한다. 정상상태 속도장을 Darcy 법칙 v = −(K/μ)∇p에 대입하여 투과성 텐서를 계산하고, 실험에서 측정한 압력 구배와 비교한다.

두 번째 방법은 개구면 프로파일을 그래프 이론에 매핑하는 복합 네트워크 구축이다. 각 전단 방향의 개구 프로파일을 노드로 정의하고, 프로파일 간 피어슨 상관계수 Cij가 사전 설정된 임계값 ξ(=0.2) 이상이면 양방향 엣지를 부여한다. 이렇게 형성된 인접 행렬 A는 무방향 그래프를 나타내며, 라플라시안 L = D − A(D는 차수 행렬) 를 통해 고유값 스펙트럼을 분석한다. 평균 최단 경로 길이 L̄는 Dijkstra 알고리즘으로 계산되며, 이는 네트워크 전반의 연결성을 정량화한다. 또한, 고유벡터의 역참여비율(IPR) = ∑α φα⁴/ (∑α φα²)²를 이용해 고유모드의 국소화 정도를 평가한다.

네트워크 구조의 세부적인 특징을 파악하기 위해 서브그래프(모티프) 분석을 수행한다. 3‑노드와 4‑노드 모티프의 출현 빈도를 전체 서브그래프 수에 대한 비율로 정규화하고, 특히 전이형(Transient) 모티프가 잔류 전단 단계에서 급증함을 확인한다. 이는 흐름 경로가 안정화되고 투과성이 최대에 도달하는 현상과 일치한다.

실험적으로는 20 mm 연속 전단 동안 2, 5, 10, 15 mm 단계에서 레이저 스캐너(픽셀당 0.2 mm 해상도)로 개구면을 측정하고, 각 단계별 압력 구배에 따른 투과성을 기록하였다. LBM 시뮬레이션은 전체 개구면을 그대로 사용한 ‘전체 해석’과 평균 개구 프로파일만을 이용한 ‘슬라이스 해석’ 두 가지 접근으로 수행되었다. 결과적으로 전체 해석이 슬라이스 해석보다 약 5‑10 % 높은 정확도를 보였으며, 두 경우 모두 실험값과의 상관계수 R² > 0.95를 달성했다.

네트워크 지표와 투과성의 동시 변화를 정량적으로 비교한 결과, 전단이 진행될수록 접촉 면적이 감소하고 평균 개구가 증가함에 따라 엣지 수와 평균 최단 경로 길이가 감소한다. 이는 흐름이 보다 직선적인 채널을 따라 이동하게 됨을 의미한다. 특히, 전단 10 mm 이후부터는 네트워크의 엣지 수와 투과성이 거의 포화 상태에 이르며, 모티프 분석에서도 전이형 서브그래프가 지배적인 패턴으로 나타난다. 이러한 결과는 복합 네트워크가 파열면의 기하학적 변화를 효율적으로 요약하고, 유동 특성의 예측 지표로 활용될 수 있음을 시사한다.

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