측정 기반 고속 고정점 양자 탐색 알고리즘

초록

본 논문은 기존 그로버 탐색에서 목표 상태 수를 모를 때 발생하는 회전 과잉·미달 문제를 해결하기 위해, ancilla 큐비트를 측정하고 그 결과를 카운트하여 상태 벡터와 목표 상태와의 거리를 추정하는 새로운 고정점 양자 탐색 방식을 제안한다. 제안 알고리즘은 성공 확률이 ½ 이상이 되도록 임계 비율(Set_Val)을 설정하고, 복잡도는 O(√N) 수준이지만 기존보다 약 2배 느리고 ancilla 큐비트 하나가 추가된다.

상세 분석

이 논문은 그로버 알고리즘의 핵심 한계인 “회전 횟수 r을 정확히 알 수 없는 경우”에 주목한다. 목표 상태의 개수 m(또는 비율 p=m/N)이 사전에 알려지지 않으면, 최적의 r을 선택하지 못해 확률이 급격히 감소한다. 기존 해결책으로는 양자 카운팅을 통한 m 추정, 혹은 회전이 단조적으로 목표에 접근하도록 설계된 고정점 알고리즘이 있다. 그러나 양자 카운팅은 추가적인 양자 회로와 쿼리가 필요하고, 고정점 방식은 O(N) 복잡도로 최적이 아니다.

제안된 방법은 두 개의 ancilla 큐비트 |OQ₁⟩와 |OQ₂⟩를 도입한다. |OQ₂⟩는 매 반복마다 Uf₁ 연산을 통해 |s⟩(검색 대상 레지스터)의 현재 상태와 연관된 값을 갖게 된다. 측정 후 결과가 |0⟩이면 C₀, |1⟩이면 C₁ 카운터를 각각 증가시킨다. C₁/C₀ 비율은 현재 |s⟩가 목표 상태에 얼마나 가까운지를 추정하는 지표가 된다. 이 비율이 사전에 정해진 임계값 Set_Val(논문에서는 1.0) 이상이면 |s⟩를 측정하고, 그렇지 않으면 추가 회전을 수행한다.

수학적으로는 그로버 회전 후 성공 확률 g_r(p)=sin²