원형 호 그래프의 박시티를 근사하는 새로운 다항시간 알고리즘

초록

본 논문은 원형 호(Circular Arc) 그래프의 박시티를 (2 + 1/k) 배 근사하는 다항시간 알고리즘을 제시한다. 정상 원형 호(Normal Circular Arc, NCA) 모델이 주어지면 가산 2배 근사도 가능하며, 전체 알고리즘의 시간 복잡도는 O(mn + n²)이며 박스 표현을 O(mn + kn²)=O(n³) 시간에 얻을 수 있다.

상세 분석

박시티는 그래프를 k개의 구간 그래프의 교집합으로 표현할 때 필요한 최소 k이며, 이는 k차원 축 평행 직사각형의 교차 그래프와 동치이다. 기존 연구에서는 이 문제를 O(n^{0.5‑ε}) 이하의 비율로 근사하는 것이 NP = ZPP가 아니면 불가능함을 보였으며, 실제로 박시티가 무한히 커지는 그래프 클래스에서도 ε<1인 근사 알고리즘은 알려지지 않았다. 원형 호 그래프는 원 위의 호들의 교차 관계로 정의되는 그래프 클래스로, 외 planar 그래프·플래너 그래프 등에서의 박시티 상한이 알려져 있으나, 일반적인 원형 호 그래프에 대한 효율적 근사법은 부재했다.

저자들은 먼저 원형 호 그래프를 두 개의 클리크 A와 B로 분할하고, 특정 기준점 p를 기준으로 정점에 번호를 매기는 “Bi‑Consecutive Adjacency Property”를 도입한다. 이 번호 매김은 A와 B 사이의 인접 관계가 연속 구간 형태를 갖게 하여, 그래프의 보완 H를 비교가능 그래프(comparability graph)로 변환한다. 중요한 관찰은 H가 완전 그래프가 되면 최소 체인 커버(chain cover) 문제와 색칠 문제(χ(H*))가 동일해지며, 이는 기존 연구에서 박시티와 동일함이 증명된 바 있다(박시티(G)=ch(H) for G complement of bipartite H).

특히, 저자들은 코-바이파티트 원형 호 그래프의 보완이 코-바이파티트이며 에지-아스터이드를 포함하지 않는 경우, H가 비교가능 그래프가 됨을 보이고, 이를 이용해 χ(H)를 다항시간에 색칠함으로써 박시티를 정확히 계산한다. 이 과정은 O(mn + n²) 시간에 수행될 수 있다.

그 다음, 일반 원형 호 그래프에 대해선, 임의의 원형 호 모델을 이용해 위의 번호 매김을 적용하고, 그래프를 두 개의 부분 그래프 G₁, G₂로 분할한다. 각 부분 그래프는 코-바이파티트 원형 호 그래프이므로 위 알고리즘을 적용해 정확한 박시티를 구한다. 전체 그래프의 박시티 k에 대해, 두 부분 그래프의 박시티 합은 ≤(2 + 1/k)·k가 되므로 (2 + 1/k) 배 근사가 보장된다.

NCA 모델이 주어지는 경우, 원형 호 그래프는 이미 정상 형태이므로 추가적인 정규화 단계가 필요 없으며, 두 부분 그래프의 박시티 차이가 최대 2임을 보인다. 따라서 가산 2배 근사 알고리즘이 얻어진다.

시간 복잡도 측면에서, 보완 그래프 H의 색칠은 전통적인 완전 그래프 색칠 알고리즘을 사용해 O(t³) (t는 H의 정점 수) 시간에 가능하지만, 저자들은 구조적 특성을 활용해 이를 O(mn + n²) 로 감소시켰다. 또한, 박스 표현 자체는 각 구간 그래프에 대한 인터벌 모델을 구성한 뒤, k차원 직사각형으로 결합함으로써 O(mn + kn²) 시간에 생성한다.

결과적으로, 이 논문은 원형 호 그래프라는 넓은 클래스에 대해 최초로 다항시간 내에 (2 + 1/k) 배 근사와, NCA·Proper 원형 호 그래프에 대해 가산 2배 근사를 제공함으로써, 박시티 근사 문제의 복잡도 경계를 크게 확장하였다.