k‑가산 코어가 만들어 내는 임퓨테이션 집합의 전면 분석

초록

k‑가산 코어는 k≥2일 때 항상 비어 있지 않으며, k‑차 임퓨테이션을 공유 규칙을 통해 고전적 임퓨테이션으로 변환한다. 논문은 공유 규칙(선택자·공유함수)별로 k‑가산 코어가 생성할 수 있는 임퓨테이션 집합을 규명하고, 특히 2‑가산 코어와 셀렉터포(Selectope) 사이의 밀접한 관계를 밝힌다.

상세 분석

본 논문은 전통적인 코어 개념을 일반화한 k‑가산 코어(k‑additive core)를 심도 있게 탐구한다. k‑가산 게임은 모비우스 변환(또는 하르사니 배당)이 크기 k 보다 큰 부분집합에 대해 0이 되는 게임이며, k=1일 때는 기존의 가산 게임, 즉 클래식 코어와 일치한다. 중요한 특징은 k≥2이면 k‑가산 코어가 언제나 비어 있지 않다는 점이다. 그러나 k‑가산 코어는 개인뿐 아니라 최대 k명까지의 부분집합에 대한 지급을 포함하는 k‑차 임퓨테이션을 산출한다. 따라서 실제 적용을 위해서는 “공유 규칙”(sharing rule)이라 불리는 매핑을 이용해 k‑차 임퓨테이션을 전통적인 임퓨테이션(개인에 대한 지급)으로 변환해야 한다.

공유 규칙은 두 종류가 있다. 첫 번째는 셀렉터 α∈A(N) 로, 각 부분집합 S에 대해 한 명의 플레이어 α(S)에게 전체 배당을 할당한다. 두 번째는 공유함수 q∈Q(N) 로, 각 부분집합 S에 속한 모든 플레이어에게 비율 q(S,i) 를 부여한다. Q(N)는 셀렉터를 꼭짓점으로 하는 볼록 다면체이며, 모든 공유함수는 이 다면체의 내부점이다.

핵심 정리는 다음과 같다. (1) 임의의 양의 공유함수 q( K,i )>0 를 선택하면, 2‑가산 코어 C₂(v) 에서 파생된 모든 공유값 집합 x_q(C₂(v)) 은 정확히 게임 v 의 전임퓨테이션 집합 PI(v)와 일치한다. 즉, 모든 전임퓨테이션은 2‑가산 코어의 어떤 원소에 대한 공유값으로 표현될 수 있다. (2) 셀렉터 α에 대해서는 x_α(C_k(v)) 가 PI(v)의 부분집합이며, 그 구조는 α가 선택하지 않은 부분집합 S∉C(α) 에 대해 추가적인 코어 제약이 없다는 점에서 특징적이다. 여기서 C(α) 는 α가 선택한 플레이어가 포함되지 않는 특정 부분집합들의 모임이다. (3) 특히, 마진값 p_σ (σ∈S(N)) 은 셀렉터값의 특수 경우이며, p_σ(C_k(v)) 은 v의 제한 코어 C(v|C_σ) 와 동일하다. 이는 마진값이 해당 순서에 대한 최대 체인에 제한된 코어와 일치함을 의미한다.

이러한 결과는 k‑가산 코어와 셀렉터포(Selectope) 사이의 깊은 연결을 드러낸다. 셀렉터포는 모든 공유값 x_q(v) (q∈Q(N)) 의 볼록 껍질이며, k‑가산 코어의 이미지가 바로 이 셀렉터포의 특정 부분집합이 된다. 따라서 k‑가산 코어는 코어가 비어 있는 경우에도 합리적인 임퓨테이션을 제공하며, 공유 규칙을 적절히 선택함으로써 원하는 임퓨테이션 집합을 자유롭게 구성할 수 있다.

논문은 또한 단조 k‑가산 코어(MC_k(v)) 와 일반 k‑가산 코어(C_k(v)) 사이의 차이점도 논의한다. MC_k(v)는 항상 유계이며, 그 이미지 역시 셀렉터포의 볼록 껍질에 포함된다. 그러나 일반 코어는 비유계일 수 있어, 공유값이 무한히 확장될 가능성이 있다.

결론적으로, k‑가산 코어는 기존 코어의 빈틈을 메우는 강력한 도구이며, 공유 규칙을 통해 전통적인 임퓨테이션으로 변환되는 과정이 명확히 규정된다. 특히 2‑가산 코어와 양의 공유함수의 조합은 모든 전임퓨테이션을 생성할 수 있음을 보여, 실무적 적용 가능성을 크게 확대한다.