약한 뮤동등성은 결정가능하다

초록

이 논문은 재귀 타입 연산자 µ를 도입한 µ‑타입 집합에 대해 “약한 µ‑동등성”(두 타입이 공통의 표준 축소를 갖는지 여부)의 결정 가능성을 증명한다. 표준 축소와 주석화된 타입을 이용해 유도 규칙을 정의하고, 파생 트리의 노드 수가 입력 타입의 크기에 의해 상한이 있음을 보임으로써 알고리즘적 판정 절차를 제공한다. α‑동치 클래스와 원시 타입 두 경우에 대해 각각 독립적인 증명을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 단순 타입 체계에 재귀적 타입 생성자 µ를 추가해 µ‑타입 (T_T^\mu)을 정의한다. 여기서 µ 는 ( \mu\alpha.A) 형태로 나타나며, (A) 내에 자유 변수 α가 존재할 경우에만 의미를 갖는다. 기존 연구에서 α‑변환(α‑conversion)과 µ‑축소(μ‑reduction) 사이의 상호 작용이 완전히 정리되지 않았던 점을 지적하고, 이를 보완하기 위해 ‘주석화된 타입’ (T_T^{\mu’})을 도입한다. 주석화된 타입은 ( (\mu\alpha_1)…(\mu\alpha_n)A) 와 같이 루트에 있는 µ‑바인딩을 명시적으로 표시하고, 각 바인딩 변수가 해당 서브식에 자유롭게 나타나는지 보장한다.

다음으로 표준 축소 (→^{}{st})와 새로운 축소 (→{\mu’})를 정의한다. (→{\mu’})는 µ‑바인딩을 ‘동결’시키는 규칙과, 바인딩 변수를 직접 치환하는 규칙을 포함한다. 중요한 성질은 (SC(a)={b\mid a→{\mu’}^{}b}) 가 입력 a 의 구조에 대한 함수적 상한을 가진다는 점이다. 이를 증명하기 위해 (SC) 의 구성 원소를 귀납적으로 분석하고, 특히 (µ\beta.A) 형태에 대해 (SC(µ\beta.A)={µ\beta.A}\cup (µ\beta)^\triangleright SC(A)\cup SC(A