다중차량 라우팅과 단위시간 윈도우: 최적 근사 알고리즘 연구

논문은 동일한 길이의 단위시간 윈도우가 부여된 위치들을 방문해야 하는 두 가지 다중차량 라우팅 문제를 정의한다. 첫 번째 문제는 고정된 차량 수 k가 주어졌을 때 가능한 한 많은 위치를 방문하는 것이며, 두 번째 문제는 모든 위치를 방문하기 위해 필요한 최소 차량 수를 찾는 것이다. 두 문제 모두 ‘unrooted’ 모델을 채택하여 차량이 언제든지 언제든지 시작·종료할 수 있도록 한다. 첫 번째 문제에 대해 저자들은 기존의 Travel­ing Repair­man Problem(TRP)에서 사용된 3γ‑근사 알고리즘을 기반으로 다중차량 버전을 설계한다. 핵심 전처리 단계는 ‘trim‑ming’이다. 시간 0을 기준으로 0.5, 1.0, 1.5 … 와 같이 절반 단위로 구간을 나누고, 각 요청의 단위시간 윈도우가 두 구간에 걸칠 경우 완전히 포함되는 구간만 남겨두어 요청을 ‘trim’한다. 이 과정에서 최적 해의 수익이 최대 3배 이하로 감소한다는 ‘Limited Loss Theorem’를 이용한다. k=2인 경우, 알고리즘 2VEHICLE는 다음과 같이 동작한다. (1) 트리밍된 요청 집합에 대해 단일 차량 3γ‑근사 알고리즘을 실행해 라우트 R₁을 얻는다. (2) R₁이 서비스한 요청을 제거하고, 남은 요청에 대해 다시 실행해 라우트 R₂를 만든다. 두 라우트는 겹칠 수 있지만, 각각이 원래 최적 라우트 R*₁, R*₂와 겹치는 부분을 p*₁(R₁), p*₂(R₁) 등으로 구분해 분석한다. 논문은 삼각 부등식과 최대/최소 연산을 통해 p(R₁)+p(R₂) ≥ (12γ−1)/(36γ²)·(p(R*₁)+p(R*₂)) 를 증명한다. 여기서 γ는 단일 차량 TRP의 근사 비율이며, 트리에서는 γ=1, 일반 그래프에서는 γ=2+ε이다. 따라서 트리에서는 최소 11/36≈30.6%의 수익을 보장하고, 일반 그래프에서도 상수 배 근사를 얻는다. k>2에 대해서는 동일한 아이디어를 반복 적용해 k개의 라우트를 생성한다. 각 단계마다 남은 최적 라우트의 수익 중 1/3γ를 확보할 수 있음을 이용해 재귀식 Pγ(k) ≥ (3γk²−(3γ+1)k+1)/(3γk²)·Pγ(k−1)+1/(3γk) 를 도출한다. 이 식을 풀면 k가 커질수록 근사 비율이 서서히 감소하지만, 실용적인 작은 k(예: 3,4,5)에서는 여전히 0.2~0.3 수준의 상수 비율을 유지한다. 두 번째 문제인 “Minimum Vehicle OPT=1”에서는 단일 차량이 모든 요청을 처리할 수 있다는 전제 하에, 트리 메트릭에서 6‑근사 알고리즘을 설계한다. 여기서는 기존 트리밍 대신 ‘expansion’ 기법을 도입한다. 시간 구간을 1단위로 나눈 뒤, 각 윈도우를 두 구간에 모두 포함하도록 길이를 두 배로 확장한다. 확장된 윈도우는 짝수 구간(E)과 홀수 구간(O)으로 나뉘며, 각각에 대해 최적 TRP 알고리즘을 적용해 두 개의 라우트 R_E, R_O를 얻는다. 원래 윈도우를 복원하기 위해 R_E와 R_O를 각각 앞뒤로 1시간씩 이동한 복제본을 추가하면 총 6개의 라우트가 모든 요청을 커버한다. 이는 트리 구조에서 최적 라우트가 존재한다면 반드시 6개 이하의 라우트로 대체 가능함을 보장한다. 논문은 또한 기존 연구와의 관계를 명확히 한다. 단일 차량 TRP에 대한 3γ‑근사와 트리밍 기법은