2연결 그래프의 3연결 성분 분해와 비대칭 정리

초록

본 논문은 단순 2연결 그래프에 대해 기존의 3‑분해를 정교화하고, 이를 이용해 흰색(3‑연결 성분·다각형)과 검은색(분리 쌍에 해당하는 결합) 정점으로 이루어진 이색 트리 tc(g)를 정의한다. 이 트리를 기반으로 두 가지 비대칭 정리를 도출하여, 주어진 3‑연결 그래프 클래스 F에 속하는 모든 3‑연결 성분만을 갖는 2연결 그래프 클래스 B(F)와 대응하는 2‑극 네트워크 클래스 R(F)를 종합적으로 기술한다. 또한, 다양한 루팅 형태와 연산(시리즈·병렬 합성, 네트워크 대입)을 통해 생성함수와 지수생성함수 관계식을 얻고, 평면·토로이드·K₃,₃‑금지 그래프 등 여러 특수 클래스의 열거 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 다중 그래프에 대한 3‑분해(맥클레인, 투테, 홉크로프트·타잔 등)를 단순 그래프에 맞게 수정한다. 단순성 때문에 ‘본드(bond)’라 불리던 다중 에지 집합은 필요 없으며, 대신 분리 쌍(separating pair)만이 결합점으로 작용한다. 각 분리 쌍을 검은색 정점, 3‑연결 성분(3‑연결 그래프 혹은 최소 3각형)들을 흰색 정점으로 하여 이색 트리 tc(g)를 만든다. 이 트리는 모든 흰색 정점이 잎이 되므로 중심은 반드시 하나의 정점이며, 그 색은 흰색이든 검은색이든 된다.

이 구조를 이용해 비대칭 정리(Dissymmetry Theorem)를 증명한다. 구체적으로 B(F) 의 루팅 형태를 세 가지(흰색 정점 루팅 B◦, 검은색 정점 루팅 B•, 인접 흰·검 정점 루팅 B◦−•)로 나누고, 중심이 K₂인 경우를 보정하여
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