볼록 집합에 대한 일반화된 델로네 그래프는 평면 그래프이다

초록

본 논문은 평면상의 임의의 볼록 집합 C에 대해 두 종류의 Delaunay‑유사 그래프, 즉 C의 평행 이동만을 이용한 그래프와 C의 양의 스케일을 허용한 동질 변환 그래프가 모두 교차 없이 평면에 그릴 수 있음을 증명한다. 기존 연구에서는 C가 컴팩트하고 볼록일 때만 후자 그래프가 평면임이 알려졌으나, 저자는 전자는 C가 볼록하기만 하면 충분함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 평면상의 유한 점 집합 P와 볼록 집합 C⊂ℝ²를 고정한다. 두 그래프 정의를 명확히 구분한다. 첫 번째 그래프 G₁(P,C)는 C의 평행 이동 C+v (v∈ℝ²) 중, 어떤 이동에 의해 두 점 p,q∈P가 C+v 안에 동시에 포함되고, 그 이동된 C 안에 다른 점이 없을 경우 (p,q)를 간선으로 연결한다. 두 번째 그래프 G₂(P,C)는 C의 양의 동질 변환 λC+v (λ>0, v∈ℝ²) 에 대해 동일한 빈 영역 조건을 만족하면 간선을 만든다. 기존 문헌에서는 G₂가 C가 컴팩트하고 볼록하면 평면임이 증명되었으며, 이는 “empty homothet” 성질을 이용해 삼각형 형태의 Delaunay 삼각분할을 구성함으로써 교차를 방지한다.

저자는 G₁에 대한 평면성 증명을 새롭게 제시한다. 핵심 아이디어는 볼록성만으로도 “empty translate” 영역이 선형적으로 연속된 두 점을 연결할 때 교차를 일으키지 못한다는 점이다. 구체적으로, 임의의 두 간선 (p₁,q₁), (p₂,q₂)가 교차한다고 가정하면, 교차점 x를 포함하는 작은 원판 B를 잡을 수 있다. 볼록 집합 C의 평행 이동에 의해 각각 p₁,q₁와 p₂,q₂를 포함하는 두 번역 C₁, C₂가 존재한다. 교차점 x∈C₁∩C₂이며, 볼록성에 의해 C₁∩C₂ 역시 볼록하고, 특히 x를 중심으로 하는 작은 볼록 부분이 두 번역 모두에 포함된다. 이때 C₁ 혹은 C₂ 안에 p₁,p₂,q₁,q₂ 중 최소 세 점이 동시에 들어가게 되며, 이는 빈 영역 조건에 모순된다. 따라서 교차가 불가능함을 보인다.

또한 G₂에 대한 기존 결과를 재검토하면서, 저자는 C가 비컴팩트(예: 열린 반평면)일 경우에도 동일한 논법이 적용된다는 점을 강조한다. 핵심은 C가 볼록이면, 어떤 동질 변환 λC+v가 두 점을 포함할 때 그 변환은 항상 연속적인 스케일 파라미터 λ에 대해 단조성을 유지한다는 사실이다. 따라서 두 간선이 교차하면, 어느 하나의 변환이 다른 변환을 완전히 포함하게 되며, 이 경우 역시 빈 영역 조건을 위배한다.

결과적으로, 볼록성이라는 최소 가정만으로 G₁과 G₂ 모두 평면 그래프가 됨을 증명한다. 이는 기존에 컴팩트성까지 요구하던 Delaunay 그래프 이론을 크게 일반화한 것으로, 비정형적인 볼록 형태(예: 무한히 뻗은 원뿔형, 열린 다각형 등)에도 적용 가능함을 의미한다.