클리포드 모듈과 이차 형식의 불변량

초록

이 논문에서는 1/2를 포함하는 가환환 A 위에서 정의된 비퇴화 이차형식을 갖는 유한 생성 프로젝티브 A-모듈 V에 대한 새로운 특성류를 정의한다. 이러한 클래스들은 A의 일반적인 K-이론에 속하며, A가 콤팩트 공간 X 위의 연속 함수들의 환이라면 클래식한 “도덕적” 볼트 클래스들을 일반화한다.

상세 요약

본 논문은 가환환 A 위에서 정의된 비퇴화 이차형식을 갖는 유한 생성 프로젝티브 모듈 V에 대한 새로운 특성류를 제시한다. 이러한 클래스들은 A의 K-이론에 속하며, 특히 A가 콤팩트 공간 X 위의 연속 함수들의 환이라면 클래식한 “도덕적” 볼트 클래스들을 일반화한다. 논문은 이차형식을 갖는 모듈 V의 클리포드 대수 C(V)를 사용하여 이러한 특성류를 정의하는데, 이때 C(V)가 A의_graded_Brauer 군에서 자명한 원소임이 필요하다. 이를 통해 A-모듈과 C(V)-모듈 사이에 모리타 동치를 구성하고, Atiyah, Bott 및 Shapiro의 아이디어와 Atiyah의 아담스 연산의 대안적인 정의를 활용한다.

C(V)가_graded_Brauer 군에서 자명하지 않은 경우, 특성류는 비틀린 K-이론의 대수적 유사체에 값들을 취하게 된다. 또한 논문은 J.-P. Serre로부터 받은 편지를 통해 이러한 클래스들이 A의 Witt 그룹 W(A) 위에서 정의된 것을 해석한다. 이 편지의 일부는 본 논문의 Lemma 3.5에 요약되어 있으며, 여기서 볼트 클래스가 A의 K-이론에서 캐논적인 제곱근을 갖는다는 것이 증명된다.