동일 나머지 n문자 알파벳 위의 매끄러운 무한 단어 연구

초록

본 논문은 n개의 양의 정수 $a_1<a_2<\dots<a_n$가 모두 같은 나머지 $r$(mod $n$)를 가질 때, 해당 알파벳에서 정의되는 매끄러운(infinite smooth) 단어들의 구조적 특성을 조사한다. $r=0$인 경우 두 번 미분 가능하고 비례가 잘 맞는 무한 단어들의 문자 빈도가 $1/n$임을 보이며, 이는 2문자 짝수 알파벳의 일반화된 Kolakoski 수열이 $1/2$ 빈도를 갖는다는 직관과 일치한다. 또한 모든 매끄러운 무한 단어가 재발(recurrent)하고, $r=0$ 혹은 $r>0$이면서 $n$이 짝수일 때는 순환 순서를 갖는 알파벳에서 일반화된 Kolakoski 단어가 균등 재발(uniformly recurrent)함을 증명한다. 마지막으로 세 번 미분 가능한 무한 단어들의 인자 집합이 어떠한 비동일 순열에도 닫히지 않음을 보여, Brlek 등(2008)의 2문자 경우 결과를 일반화한다.

상세 분석

논문은 먼저 “매끄러운(smooth) 단어”라는 개념을 $n$-문자 알파벳 $\Sigma_n={a_1,\dots ,a_n}$ 위에 정의한다. 각 문자 $a_i$는 $a_i=nq_i+r$ 형태로 표현되며, 여기서 $r\in{0,1,\dots ,n-1}$는 모든 $i$에 대해 동일하다. 이때 ‘미분’ 연산 $D$는 연속된 동일 문자들의 길이를 기록하는 함수로, $D^k(w)$가 무한히 정의될 경우 $w$를 $k$번 미분 가능하다고 부른다. 특히 $D^2(w)$가 존재하고, 각 문자 $a_i$가 전체 문자열에서 차지하는 비율이 $1/n$에 수렴하면 “두 번 미분 가능하고 비례가 잘 맞는(well‑proportioned)”이라고 정의한다.

주요 정리(1)은 $r=0$인 경우, 즉 모든 $a_i$가 $n$의 배수일 때, 위와 같은 조건을 만족하는 무한 단어들의 문자 빈도가 정확히 $1/n$임을 보인다. 증명은 $D$ 연산이 $n$-주기적인 구조를 보존한다는 사실과, $D^2$가 생성하는 길이 열이 평균값 $n$을 갖는 마코프 체인으로 수렴한다는 점을 이용한다. 이 결과는 2문자 짝수 알파벳(예: ${2,4}$)에 대한 기존 Kolakoski 수열의 빈도 $1/2$와 일치한다는 점에서 의미가 크다.

정리(2)는 모든 매끄러운 무한 단어가 재발한다는 것을 증명한다. 여기서는 $D$ 연산이 무한히 적용될 수 있는 한, 각 유한 인자가 무한히 자주 나타난다는 점을 귀납적으로 보여준다. $r$의 값에 관계없이 $D$가 생성하는 길이 열이 유한 상한을 갖지 않음으로써, 임의의 인자 $u$가 $w$ 안에 무한히 많이 포함된다는 결론에 도달한다.

정리(3)은 $r=0$ 혹은 $r>0$이면서 $n$이 짝수인 경우, 순환 순서(즉, $a_1\to a_2\to\cdots\to a_n\to a_1$)를 갖는 알파벳에서 일반화된 Kolakoski 단어가 균등 재발임을 보인다. 균등 재발을 보이기 위해서는 어떤 고정된 길이 $L$에 대해, 모든 구간 길이 $L$ 이상의 부분 문자열이 모든 가능한 길이 $L$ 인자를 포함한다는 ‘사전적’ 성질을 이용한다. 저자들은 $D$ 연산이 순환 구조를 보존하고, $r>0$일 때도 각 문자 블록의 길이가 $n$의 배수와 $r$의 조합으로 제한되므로, 인자들의 등장 간격이 상한을 갖는다는 점을 활용한다.

정리(4)는 세 번 미분 가능한 무한 단어들의 인자 집합이 어떠한 비동일 순열 $\pi$에 대해서도 $\pi(F(w))=F(w)$를 만족하지 않음을 보인다. 여기서 $F(w)$는 $w$의 모든 유한 인자들의 집합이다. 증명은 $D^3$가 만든 길이 열이 특정 순열에 대해 고정점을 갖지 않으며, 따라서 순열을 적용하면 새로운 인자가 생성돼 원래 집합에 포함되지 않게 된다는 논리 전개에 기반한다.

전체적으로 저자들은 Brlek 등(2008)의 2문자 경우 결과를 $n$문자 일반화로 확장하면서, $r$에 따른 경우 구분과 $n$의 짝·홀성에 따른 차이를 정밀히 분석한다. 특히 ‘동일 나머지’라는 가정이 $D$ 연산의 주기성을 보장해, 빈도와 재발성에 대한 강력한 정리를 가능하게 만든다.