논리적 특성화의 비증명성: 라벨드 마코프 과정에서 상태와 사건 동등성의 차이

초록

이 논문은 일반 가측공간에서 라벨드 마코프 과정(LMP)의 상태 동등성(state bisimulation)과 사건 동등성(event bisimulation)이 서로 다를 수 있음을 보이는 반례를 제시한다. 이를 통해 Desharnais가 제안한 Hennessy‑Milner 논리(L)가 비분석적(비‑analytic) 가측공간에서는 상태 동등성을 완전하게 특성화하지 못함을 증명한다. 또한, 이러한 반례는 현재 수학적 기반(특히 선택공리와 비가측 집합 존재) 하에서 레벨 2(공동분석적) 집합에 대한 논리적 특성화가 증명 불가능함을 보여준다. 마지막으로, 일반 가측공간 위의 정지 마코프 과정에서는 반풀백(semi‑pullback)이 존재하지 않음도 증명한다.

상세 분석

본 논문은 라벨드 마코프 과정(LMP)의 두 가지 주요 동등성 개념, 즉 상태 동등성(state bisimulation)과 사건 동등성(event bisimulation)을 면밀히 비교한다. 상태 동등성은 관계 R이 모든 라벨 a에 대해 R‑폐 집합에 대해 전이 확률이 동일하도록 요구하는 반면, 사건 동등성은 R이 어떤 σ‑부분대수 U에 의해 생성되는 경우에 한정한다. 기존 연구에서는 분석적(analytic) 가측공간, 즉 폴란드 공간의 연속 이미지인 경우에 두 동등성이 일치하고, Hennessy‑Milner 논리 L이 상태 동등성을 완전하게 특성화한다는 결과가 알려져 있었다.

하지만 저자는 비‑analytic, 더 나아가 비가측 집합이 존재하는 가측공간을 이용해 두 동등성이 달라질 수 있음을 보인다. 핵심은 Loś와 Marczewski의 측도 확장 정리를 활용해, 동일한 기본 측도 μ를 갖는 두 개의 서로 다른 확장 μ₁, μ₂를 구성하는 것이다. 여기서 비가측 집합 V를 선택하면 μ₁(V)와 μ₂(V) 값이 다르게 정의될 수 있다. 이러한 차이는 L의 공식이 생성하는 σ‑대수 σ(JL)와 V가 서로 독립적이기 때문에, 논리적으로 구분되지 않는 상태가 실제 전이 확률에서는 구분될 수 있음을 의미한다.

구체적인 반례는 닫힌 구간