충분히 긴 아벨리안 제곱을 피하는 방법

초록

이 논문은 이진 문자열에서 길이가 $2k$ 이상인 아벨리안 제곱을 회피할 수 있는 최장 문자열의 길이가 $\Theta(k^2)$임을 보인다. 저자들은 격자 경로를 이용해 아벨리안 제곱을 특징짓고, 길이 $q(q+1)$인 이진 문자열을 구성해 $2\sqrt{2q(q+1)}$ 이하의 아벨리안 제곱만 포함하도록 한다. 이를 통해 기존의 $k^2+6k$ 상한을 거의 맞추는 하한을 제시한다.

상세 분석

본 연구는 1972년 Entringer·Jackson·Schatz가 제시한 “이진 문자열 길이 $k^2+6k$이면 반드시 길이 $\ge 2k$인 아벨리안 제곱이 존재한다”는 정리를 시작점으로 삼는다. 저자들은 먼저 이진 문자열을 2‑차원 격자상의 경로로 해석한다. 구체적으로 0을 오른쪽 이동, 1을 위쪽 이동으로 매핑함으로써 문자열 $w$는 원점에서 시작하는 단조 증가 경로 $P_w$가 된다. 이때 두 구간 $