유클리드 공간의 고정점 없는 사상

초록

본 논문은 ℝⁿ 위의 연속적인 자기지도 f가 고정점을 갖지 않을 때, 이를 유한한 색칠(colorable)로 표현할 수 있음을 증명한다. 즉, f가 고정점이 없으면 베타 컴팩트화 βℝⁿ 상에서도 고정점이 없으며, 반대도 성립한다. 이를 일반화한 결과와 몇 가지 반례도 제시한다.

상세 분석

논문의 핵심은 “고정점이 없는 연속 사상은 색칠 가능하다”는 명제이다. 여기서 색칠이란, ℝⁿ을 유한 개의 서로 겹치지 않는 폐집합들로 분할하고, 각 부분집합이 f에 의해 자기 자신으로 보내지지 않도록 하는 것을 의미한다. 저자는 먼저 색칠 가능성의 등가조건을 제시한다. 즉, f가 고정점을 갖지 않으면 ℝⁿ을 finitely many closed sets {C₁,…,C_k} 로 나눌 수 있으며, 각 C_i 에 대해 f