자석 하노이 타워와 최적 해법

초록

본 논문은 자석 하노이 퍼즐을 여섯 가지 사전 색칠 조합으로 분류하고, 각 조합에 대한 최적 알고리즘을 제시·증명한다. 특히 “자유” 퍼즐(N,N,N) 의 최적 해법이 다른 다섯 알고리즘을 포함한다는 점을 밝히며, 알고리즘 지속시간 비율을 20/33으로 규정한다. 또한 10쌍의 정수열을 조사해 OEIS에 등재된 다섯 개와 새롭게 발견된 열다섯 개를 제시한다.

상세 분석

이 연구는 기존 “베이스 3” 형태의 자석 하노이 퍼즐을 단일 문제로 보는 관점을 탈피하고, 탑의 세 기둥에 사전 색(빨강, 파랑, 중립)이 부여된 경우를 여섯 개의 독립적인 ‘자매 퍼즐’로 정의한다. 색 조합은 (출발, 중간, 도착) 순서의 삼중항 (S,I,D) 로 표기되며, 논문에서는 (R,B,B)·(R,R,B) 등 두 가지 대칭 형태를 하나의 클래스로 묶어 총 여섯 클래스를 만든다.

각 클래스를 해결하기 위해 저자는 “전진 이동” 원칙을 기반으로 하는 재귀적 알고리즘을 설계한다. 가장 기본이 되는 색칠된 타워