삼진 알파벳 원형 무제곱 단어의 존재와 구조

초록

본 논문은 3개의 문자만으로 이루어진 원형 단어가 제곱(같은 연속 부분 문자열이 두 번 나타나는 경우)을 포함하지 않도록 구성될 수 있는 길이를 완전히 규명한다. 5·7·9·10·14·17을 제외한 모든 길이에 대해 존재함을 보이며, 이를 K₃,₃ 그래프의 폐쇄 보행과 연결시켜 증명한다. 또한 길이 l에 대해 이러한 원형 단어의 개수가 지수적으로 증가함을 보이고, 유일한 경우의 길이도 나열한다.

상세 분석

논문은 먼저 원형 단어를 순환적인 문자열로 정의하고, 무제곱성은 어떤 연속 부분 문자열이 두 번 연속으로 나타나지 않는다는 조건으로 정리한다. 기존에 Currie가 컴퓨터 검색을 통해 얻은 “길이 5·7·9·10·14·17을 제외한 모든 길이에 무제곱 원형 단어가 존재한다”는 결과를 전제로, 저자는 이를 전산 없이 증명하기 위해 새로운 그래프 이론적 접근을 도입한다. 핵심 아이디어는 삼진 알파벳 {a,b,c}를 두 파트로 나누어 각각을 K₃,₃ 그래프의 한 쪽 정점 집합에 대응시키고, 원형 단어의 인접 관계를 그래프의 간선으로 해석하는 것이다. 이렇게 하면 원형 단어가 무제곱이라는 제약은 그래프에서 같은 간선을 연속으로 두 번 통과하지 않는 폐쇄 보행, 즉 ‘단순 폐쇄 보행’으로 변환된다.

K₃,₃는 3대 3 완전 이분 그래프로, 각 파트에 a,b,c를 배치하고, 인접 관계를 (a→b), (b→c), (c→a)와 같은 순환 형태로 설정한다. 이때 보행의 길이가 원형 단어의 길이와 일치한다. 저자는 이러한 보행을 구성하는 기본 블록을 3개의 짧은 사이클(길이 4,5,6)로 분해하고, 이 블록들을 적절히 연결함으로써 원하는 모든 길이의 보행을 만들 수 있음을 보인다. 특히, 제외된 길이들은 이러한 블록 조합으로는 정확히 맞춰질 수 없는 경우이며, 이를 직접적인 경우 분석을 통해 확인한다.

또한, 보행을 구성하는 자유도가 크기 때문에 같은 길이 l에 대해 서로 다른 보행(따라서 서로 다른 원형 단어)이 지수적으로 많이 존재한다는 하한을 도출한다. 구체적으로, 블록 선택과 순열에 대한 자유도가 2^{l/6} 수준임을 보이며, 이는 무제곱 원형 단어의 개수가 l에 대해 지수적으로 성장함을 의미한다. 마지막으로, 유일성 문제를 다루어, 특정 길이(예: 11, 13, 15 등)에서는 블록 조합이 하나뿐이어서 원형 단어가 동형(회전·반전)만을 제외하고 유일함을 증명한다.

이러한 그래프 기반 증명은 기존의 전산적 검증을 대체할 뿐 아니라, 무제곱 원형 단어와 그래프 이론 사이의 깊은 연관성을 드러내어 향후 다른 알파벳 크기나 제약 조건에 대한 일반화 가능성을 시사한다.