양의 정수 위 거의 단조적 전단사 부분변환들의 위상적 모노이드 연구

초록

본 논문은 양의 정수 집합 ℕ 위의 부분공역이 유한여집합인 거의 단조적 전단사 변환들로 이루어진 반군 (I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)) 를 조사한다. 이 반군은 이분단순(bisimple)이며, 비자명한 군 동형사상은 전단사동형이거나 군 동형사상에 불과함을 보인다. 또한 Baire 위상에서 반군을 반위상군으로 만들 경우 위상이 반드시 이산임을 증명하고, 그 폐쇄 구조를 기술한다. 마지막으로 비이산적인 Hausdorff 반군 위상을 몇 가지 구성한다.

상세 분석

논문은 먼저 (I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)) 를 “부분공역이 유한히 제외된(co‑finite) 거의 단조적(increasing up to finitely many exceptions) 전단사(bijective) 변환”들의 집합으로 정의한다. 구체적으로, 각 원소 (\alpha)는 정의역 (\operatorname{dom}(\alpha)\subseteq\mathbb N) 와 공역 (\operatorname{ran}(\alpha)\subseteq\mathbb N) 가 모두 (\mathbb N) 의 유한여집합을 제외한 형태이며, (\alpha) 가 (\mathbb N) 의 거의 모든 원소에 대해 (n\le m\Rightarrow \alpha(n)\le\alpha(m)) 를 만족한다. 이러한 조건은 전통적인 단조함(monotonicity)을 약화시켜, 유한개의 “예외점”을 허용함으로써 보다 풍부한 구조를 제공한다.

연산은 함수 합성으로 정의되며, 부분함수의 합성은 정의역과 공역이 겹치는 부분에서만 의미가 있다. 이때 합성은 다시 co‑finite이며 거의 단조적인 전단사 변환이 되므로, (I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)) 는 반군을 이룬다.

그 다음 저자는 Green 관계를 이용해 구조를 분석한다. 모든 원소가 동일한 (\mathcal{J})‑클래스에 속함을 보이며, 이는 반군이 이분단순(bisimple)임을 의미한다. 특히, 임의의 (\alpha,\beta\in I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)) 에 대해 (\alpha\mathcal{J}\beta) 가 성립하고, (\mathcal{L})·(\mathcal{R}) 관계도 전부 하나의 클래스에 귀속된다. 이와 같은 성질은 유명한 이분단순 반군인 바이시클릭 반군 (\mathcal{B}) 와 직접적인 유사성을 보여준다.

군 동형사상에 대한 결과는 두 가지 경우만 존재함을 증명한다. 첫 번째는 전단사 동형사상으로, 이는 반군 자체를 보존하는 동형이다. 두 번째는 군 구조만을 보존하는 사상으로, 여기서는 모든 비단위 원소가 영(0) 원소로 사상되는 ‘퇴화’ 군 동형사상이다. 즉, 비자명한 군 동형사상은 전단사 동형이거나 군의 영원소만을 포함하는 사상에 한정된다. 이는 바이시클릭 반군에서 알려진 “모든 비자명한 군 동형사상은 동형이다” 라는 정리와 직접적인 대응 관계에 있다.

위상적 측면에서는 Baire 공간 위에 반군 구조를 부여했을 때, 반군 연산이 각각 연속인 반위상군(semitopological semigroup)이라면 위상이 반드시 이산임을 보인다. 증명은 Baire 성질과 (\mathcal{J})‑클래스가 하나뿐인 점을 이용해, 임의의 비이산적 열린 집합이 존재하면 반군 전체가 비밀도 없는 집합으로 수축되는 모순을 도출한다.

그 후 저자는 임의의 Hausdorff 반군 위상 (\tau) 에 대해 ((I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N),\tau)) 의 폐쇄 (\overline{I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)}) 를 기술한다. 핵심은 ‘영원소’ 혹은 ‘무한대 원소’를 추가함으로써 폐쇄를 얻는다는 점이다. 구체적으로, 각 원소의 정의역·공역이 무한히 커지는 극한 과정에서 발생하는 새로운 원소를 하나 도입하고, 이 원소와 기존 원소들 사이의 곱셈을 자연스럽게 정의한다. 이렇게 확장된 구조는 여전히 반군이며, 원래 반군은 그 안에서 밀집(subset)한다.

마지막으로 저자는 비이산적인 Hausdorff 반군 위상을 두 가지 방식으로 구성한다. 첫 번째는 ‘이상(ideal) 위상’으로, 반군의 모든 유한 지지(finite support) 원소들을 폐집합으로 두고, 나머지 원소들에 대해 기본 열린 집합을 정의한다. 두 번째는 ‘그룹화된 직교 합(topological sum)’ 방식으로, 각 (\mathcal{L})‑클래스를 독립적인 복합공간으로 보고, 이들을 서로 분리된 토폴로지로 합친다. 두 위상 모두 연산이 연속이며, Baire 성질을 만족하지 않으므로 앞서 증명한 이산성 결과와는 별개의 예시가 된다.

이러한 일련의 결과들은 (I_{\infty}^{!\nearrow}(\mathbb N)) 가 바이시클릭 반군과 구조적으로 매우 흡사하지만, 위상적 다양성에서는 새로운 현상을 보여준다는 점에서 의미가 크다. 특히, 거의 단조성이라는 약화된 조건이 반군의 대수적 단순성을 유지하면서도 위상적 자유도를 제공한다는 점은 향후 무한 반군 이론 및 동역학적 응용에 중요한 통찰을 제공한다.