제로점 드리프트 제거와 통계적 비용 최소화

초록

본 논문은 AB 교대 측정(ABAB…)을 이용해 0점 드리프트를 사후 처리하는 방법을 제시한다. 다항식 차수 p까지의 드리프트를 완전히 제거하는 FIR 필터와 BLUE 추정기를 설계하고, 필터 차수와 데이터 수 N에 따른 통계적 비용 c(N)을 정의한다. N > 30에서는 비용이 무시할 수준이며, N < 30에서는 비용이 p와 N에 따라 변동함을 그래프로 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 측정값 u_i 를 u_i = z₀(i) + (−1)^i η + ε_i 로 모델링한다. 여기서 z₀(i) 는 시간에 따라 변하는 제로점, η 는 실제 신호, ε_i 는 평균 0, 분산 σ²인 백색 잡음이다. 단순히 (−1)^i 로 곱해 평균을 구하면 기대값은 η + ½ E(z₀′) 로, 제로점의 기울기 z₀′ 에 의해 편향된다. 기존의 AB BA, ABA 등 패턴은 특정 차수(선형 이하)의 드리프트만 완전히 제거하고, 데이터 손실이나 비대칭성 등의 실용적 문제를 가진다.

저자들은 ABAB… 형태의 연속 데이터를 전처리 없이 수집한 뒤, 사후에 다항식 차수 p 까지의 드리프트를 제거하는 FIR 필터를 설계한다. 필터 계수 C_k 는 (1−z^{−1})^p 의 전개계수와 동일하게 C_k = (−1)^k · ( p choose k ) / 2^p 로 정의된다. 이 필터는 입력 데이터의 p+1 연속값을 선형 결합해 y_i = Σ_{k=0}^p C_k u_{i+k} 로 새로운 시계열을 만든다. 필터 적용 후 y_i 는 제로점의 p차 이하 다항식 변동을 완전히 소거하고, 신호 η 는 (−1)^i 로 변조된 형태로 남는다.

필터링은 행렬 A (크기 (N−p)×N) 로 표현되며, 필터링 후 데이터 Y = A U 로 쓸 수 있다. 잡음이 백색이라고 가정하면 Y의 공분산 행렬 C = A (σ² I) Aᵀ 로 계산된다. C는 대각선 외에도 p‑대칭 구조를 가지며, 이는 이후 BLUE(최소분산 불편 추정량) 계산에 직접 사용된다. 설계된 디자인 행렬 X (모두 1인 열벡터)와 C⁻¹을 이용해 평균 µ = (Xᵀ C⁻¹ X)⁻¹ Xᵀ C⁻¹ Y 로 추정한다. 이를 단일 스칼라 연산 F_{p}^{N}=V U 로 정리하면, V = Xᵀ (A Aᵀ)⁻¹ X A 가 미리 계산된 가중치 벡터가 된다. V는 N과 p만에 의존하므로 동일 실험에서 재사용 가능하다.

추정량의 분산은 Var(F_{p}^{N}) = σ² Xᵀ (A Aᵀ)⁻¹ X 로 간단히 표현된다. σ²를 모를 경우, 잔차 제곱합을 이용한 χ² 기반 추정식 (22) 로 대체한다. 마지막으로 통계적 비용 함수 c(N) = N·Xᵀ (A Aᵀ)⁻¹ X / (N−p) − 1 로 정의한다. 이는 필터링 후 데이터 수가 N−p 로 감소하면서 발생하는 상대적 분산 증가를 나타낸다. 그림 1에서는 p=1,2,3에 대해 N이 550 사이일 때 비용이 0%≈5% 수준으로 변동함을 보여준다. N≫p이면 비용은 급격히 감소해 실질적으로 무시 가능하다.

핵심 인사이트는 (1) ABAB 연속 측정만으로도 사후 필터링을 통해 任意 차수까지 드리프트를 완전히 제거할 수 있다. (2) 필터 차수 p를 높이면 드리프트 억제 능력은 강화되지만, 데이터 손실(N−p)과 상관관계 증가로 통계적 비용이 상승한다. (3) N이 30 이상이면 비용이 1% 이하로 작아 실험 설계 시 큰 제약이 없으며, N이 작을 경우 p와 N의 조합을 비용‑이득 그래프를 통해 최적화해야 한다.