Savage‑Dickey 역설을 넘어서: 베이즈 요인 일반화와 측도론적 해법

본 논문은 베이즈 가설 검정에서 널리 사용되는 Savage‑Dickey 비율이 실제로는 특정 사전 제약이 아니라, 조건부 밀도 버전 선택에 의존하는 일반적인 베이즈 요인 표현임을 체계적으로 밝힌다. 1. **배경 및 문제 제기** - 베이즈 요인 B₀₁은 두 모델의 주변밀도 비율로 정의되며, 직접 계산이 어려워 다양한 근사법이 개발돼 왔다. - Savage‑Dickey 비율은 “θ=θ₀”라는 귀무가설에 대해 B₀₁ = π₁(θ₀|x)/π₁(θ₀) 라는 간단한 형태를 제시한다. 기존 문헌은 이를 사전조건 π₁(ψ|θ₀)=π₀(ψ)와 같은 강력한 가정에 기반한다고 설명한다. 2. **측도론적 역설** - 조건부 밀도 π₁(ψ|θ)는 Lebesgue 측도에 대해 거의 어디서나 정의되며, 동일 확률분포를 나타내는 무수히 많은 버전이 존재한다. - θ₀는 사전에서 고정된 값이므로, π₁(ψ|θ₀)의 버전을 임의로 선택할 수 있다. 따라서 (2)와 같은 “조건”은 실제로는 언제든지 만족시키거나 위배시킬 수 있는 수학적 허구에 불과하다. - 이로 인해 두 가지 모순이 발생한다. 첫째, θ=θ₀ 집합은 대안 모델에서 0확률이므로 사후밀도 π₁(θ₀|x) 자체가 정의되지 않는다. 둘째, 비율 유도 과정에서 π₁(ψ|θ₀), π₁(θ₀,ψ), π₁(θ₀|x) 등 여러 밀도의 특정 버전을 강제로 사용해야 하며, 이는 결국 “베이즈 요인 = π₁(θ₀|x)/π₁(θ₀)”라는 자명한 동등식에 불과하다. 3. **일반화와 새로운 표현** - 저자들은 대안 모델의 사전을 π₁(θ)·π₀(ψ) 형태로 재정의하고, 새로운 “가상의” 사후밀도 ˜π₁(θ|x) ∝ π₁(θ)·∫π₀(ψ)f(x|θ,ψ)dψ 를 도입한다. - 이 ˜π₁은 θ=θ₀에서 Bayes 정리가 정확히 성립하도록 강제한다(식 (4)). - 결과적으로 베이즈 요인은 B₀₁(x)=˜π₁(θ₀|x)·π₁(θ₀)·E_{π₁(θ,ψ|x)}