근사 표현과 근사 동형사상

초록

본 논문은 유한군 G의 근사 표현 f:G→Uₙ을 연구한다. 임의의 x,y∈G에 대해 f(xy)와 f(x)f(y)의 일치 확률이 높거나 평균 제곱 오차가 작을 때, 그 정도를 G의 최소 비자명 차원 d_min과 표현 차원 d의 비율 d/d_min 로 제한한다. 또한, 다른 유한군 H로의 근사 동형사상 f:G→H 가 얼마나 “동형”일 수 있는지를 H의 최소 비자명 차원과 비교해 상한을 제시한다. 결과는 G가 퀴즈랜덤(즉 d_min이 크다)일수록 낮은 차원이나 덜 퀴즈랜덤인 군에 왜곡 없이 삽입될 수 없음을 보여준다. 마지막으로, 실제 표현의 소행렬식(minor)과 그 극분해(polar decomposition)를 이용한 예시가 제시되어 제시된 경계가 최적임을 증명한다.

상세 요약

논문의 핵심은 “근사 표현”이라는 개념을 정량화하고, 이를 군의 퀴즈랜덤성(Quasirandomness)과 연결시킨 점에 있다. 먼저 f:G→U_d가 평균 제곱 오차
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