무작위 그래프에서 사이클 존재 확률의 정확한 분석

초록

본 논문은 d 차원 토러스 위에 Lσ 거리(1≤σ≤∞)를 이용해 정의된 기하학적 무작위 그래프(GR 그래프)에서 특정 라벨이 부여된 사이클이 존재할 확률을 정확히 구한다. σ=2와 σ=∞ 경우에 대해 확률을 전개하는 급수를 도출하고, 이를 이용해 해밀턴 사이클 기대 개수를 얻는다. 또한 인접 행렬의 고유값에 대한 기본 대칭 함수와 영구(permanent)의 기대값에 대한 재귀식을 제시하며, GR 그래프와 동일한 평균 차수의 에르되시–레니(ER) 그래프와 비교한다. 실험 결과, GR 그래프는 ER 그래프보다 해밀턴 사이클과 영구가 급격히 증가하는 임계점이 낮지만, n이 커질수록 두 임계점은 log n / n에 수렴한다는 것을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 기하학적 무작위 그래프(GR 그래프)를 d 차원 토러스에 Lσ 거리(σ는 1부터 무한대까지)로 정의함으로써 시작한다. 가장 핵심적인 결과는 “특정 라벨이 붙은 k-길이 사이클이 그래프에 존재할 확률”을 정확히 구하는 정리이다. 저자들은 먼저 두 점 사이의 연결 확률을 거리 함수 ρσ(x,y)≤r(반경) 형태로 표현하고, 이를 이용해 두 정점 사이의 독립적인 연결 사건을 모델링한다. σ=2(유클리드 거리)와 σ=∞(최대 거리) 경우에는 토러스의 대칭성을 활용해 다중 적분을 다항식 형태의 급수로 변환한다. 이 급수는 베타 함수와 다중 베르누이 다항식의 조합으로 나타나며, 수치적으로는 빠른 수렴 특성을 보여준다.

해밀턴 사이클 기대 개수는 모든 n! 가능한 라벨 순열에 대해 위에서 구한 사이클 존재 확률을 합산함으로써 얻어진다. 특히 σ=∞ 경우, 즉 정규 직육면체 내에서 최대 거리 기준으로 연결되는 경우에는 “완전 그래프에 가까운” 구조가 형성되어, 작은 r에서도 상당히 높은 해밀턴 사이클 발생률을 보인다. 반면 σ=2에서는 거리 제약이 더 강해 임계 반경이 다소 커야 하지만, 급수 전개가 동일하게 적용 가능하다.

인접 행렬 A에 대해 저자들은 고유값 λ1,…,λn의 기본 대칭 함수 e_k(λ) = Σ_{i1<…<ik} λ_{i1}…λ_{ik}의 기대값 E