부분 모노이드와 문자열 재작성의 결합성·합류성 탐구

초록

부분 모노이드를 자유 모노이드에 삽입하고, 정의된 곱을 문자열 재작성 규칙으로 모사한다. 논문은 이 재작성 시스템의 수렴성(termination)과 합류성(confluence)이 부분 모노이드의 결합성(associativity)과 어떻게 상호 연관되는지를 밝히고, 비합류적인 경우에도 고유한 정상형을 얻는 좌측 표준 감소 전략을 제시한다. 최종적으로 정상형 위에 정의된 곱이 결합적이 되려면 원 시스템이 합류해야 함을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 부분 모노이드 P를 정의한다. P는 부분적으로 정의된 이항 연산 ×와 전역 항등원 1_P를 갖으며, (x × y) × z와 x × (y × z)가 동시에 정의될 경우 두 값이 일치한다는 약한 결합성을 만족한다. 이러한 구조를 자유 모노이드 P*에 자연스럽게 삽입하고, 두 글자 x·y가 P에서 정의된 경우 이를 x × y로 교체하고, 1_P는 빈 문자열 ε로 치환하는 반-투에 시스템 R_P를 만든다. R_P는 언제나 종료(terminating)하지만 일반적으로 합류(confluent)하지 않는다. 합류성 여부는 ‘핵심 쌍(critical pair)’의 수렴성에 의해 결정되며, 특히 ‘본질적(essential)’인 쌍만을 고려하면 충분하다. 본질적 쌍은 두 종류(A)와(B)로 구분되는데, B형은 자동으로 수렴하지만 A형은 다시 A₀와 A₁으로 나뉜다. A₀형은 x와 a, 혹은 z와 b가 서로 다르고 양쪽 모두 연산이 정의되지 않아 수렴이 불가능한 경우이며, 이러한 쌍이 존재하면 R_P는 합류하지 않는다. 논문은 ‘카테날 연관성(catenary associativity)’이라는 조건을 도입한다. 이는 y≠1_P인 경우 (x·y)·z와 x·(y·z)의 정의 여부가 동일함을 요구한다. 부분 모노이드가 이 조건을 만족하면 모든 본질적 쌍이 A₁형이 되므로 R_P는 합류한다. 그러나 카테날 연관성이 필요충분은 아니며, 예시를 통해 비카테날이면서도 합류하는 경우를 제시한다.

합류성을 보장하기 위한 실용적 방법으로 ‘좌측 표준 감소(left‑standard reduction)’ 알고리즘을 제시한다. 입력 문자열에서 1_P를 모두 삭제하고, 왼쪽에서 첫 번째로 정의된 곱 x·y를 찾아 x × y가 1_P이면 해당 부분을 삭제하고, 그렇지 않으면 x·y를 x × y로 교체한다. 이 과정은 반드시 종료하며, 결과 문자열은 R_P의 정상형이면서도 유일성을 가진다. 이를 기반으로 정상형 집합 N에 새로운 이항 연산 ⊙를 정의한다. 두 정상형 u, v에 대해 u⊙v는 u·v를 좌측 표준 감소에 의해 정규화한 결과이다. 논문은 ⊙가 ‘동치 관계(≡)에 대해 결합적’임을 증명하고, 마지막 정리에서는 ⊙가 실제 결합법칙을 만족하는 경우와 R_P가 합류하는 경우가 서로 동치임을 보인다. 즉, 부분 모노이드의 결합성(정의된 경우)과 문자열 재작성 시스템의 합류성은 동일한 구조적 특성을 반영한다는 깊은 연관성을 밝혀낸다.