볼록 다각형에서 이등변 삼각형과 정다각형의 최대 개수

초록

이 논문은 임의의 볼록 $n$각형에 대해 (i) 두 변이 길이 1인 이등변 삼각형의 개수는 $\frac{n^{2}}{2}+Θ(n\log n)$ 이하이며 이 차수는 최적임을 보이고, (ii) 전체 이등변 삼각형 개수는 $\frac{3n^{2}}{4}+o(n^{2})$ 이하라는 추측을 제시하고 특수 경우에 증명한다. 또한 (iii) $k\ge4$인 정$k$각형은 $\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$개보다 많을 수 없으며 이 한계가 달성 가능함을 보이며, (iv) 단위 둘레를 가진 볼록 $n$각형의 모든 정점 간 거리 합은 $\frac{n-1}{2}\le S\le\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor!\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil!\frac12$임을 간단히 증명한다.

상세 분석

본 논문은 볼록 다각형의 정점 집합을 그래프 이론과 조합기하학의 관점에서 분석한다. (i)에서는 두 변이 단위 길이인 이등변 삼각형을 “단위 거리 이등변 삼각형”이라 정의하고, 정점들을 정점 집합 $V$라 할 때 각 정점 $v\in V$에 대해 $v$를 꼭짓점으로 하는 단위 거리 쌍을 $U(v)$라 두면 $|U(v)|=O(\log n)$인 점을 보인다. 이는 Erdős‑Moser‑Szekeres 유형의 단위 거리 문제와 유사한 “단위 거리 그래프의 최대 차수” 결과를 활용한다. 그런 다음 모든 이등변 삼각형을 두 번씩 세어 $\sum_{v\in V}\binom{|U(v)|}{2}$을 구하면 $O(n\log n)$ 항이 남고, 주된 $n^{2}/2$ 항은 $v$를 기준으로 한 반대편 정점 쌍이 서로 다른 두 변을 공유할 때 발생한다. 하한 예시로는 정다각형에 작은 변을 추가해 단위 변을 $n$개 정도 만들 수 있음을 보이며, 이때 발생하는 이등변 삼각형 수가 $\frac{n^{2}}{2}+Θ(n\log n)$와 일치함을 확인한다.

(ii)에서는 전체 이등변 삼각형 수에 대한 더 강한 상한 $\frac{3n^{2}}{4}+o(n^{2})$를 제시한다. 저자는 “대칭 쌍”과 “비대칭 쌍”을 구분하고, 각 정점이 차지할 수 있는 단위 거리 쌍의 평균을 $3/2$로 제한한다. 이 과정에서 정다각형을 약간 비틀어 “거의 정다각형” 형태를 만든 경우에만 상한에 근접함을 보인다. 특수 군으로는 모든 변이 같은 길이를 갖는 정다각형과, 각 변이 두 개씩 짝을 이루는 교대형(alternating) 다각형을 들며, 이들에 대해 정확히 $\frac{3n^{2}}{4}+O(n)$개의 이등변 삼각형이 존재함을 증명한다.

(iii)에서는 $k\ge4$인 정$k$각형이 정점 집합에 몇 개 존재할 수 있는지를 조사한다. 정$k$각형이 존재하려면 그 $k$개의 정점이 원형 순서대로 같은 간격을 가져야 하므로, 전체 정점 집합을 $k$개의 연속 블록으로 나누는 것이 최적임을 보인다. 따라서 $\lfloor n/k\rfloor$보다 많을 수 없으며, $n$이 $k$의 배수일 때 정규 $k$각형을 겹치지 않게 배치함으로써 이 한계가 달성됨을 구성한다.

(iv)에서는 단위 둘레를 가정하고 모든 정점 간 거리 합 $S$를 구한다. 하한은 삼각 부등식과 평균 거리 개념을 이용해 $S\ge (n-1)/2$를 얻고, 상한은 정점들을 두 개의 반원에 최대한 가깝게 배치해 서로 다른 파트 사이의 거리만을 크게 만들면 $S\le\lfloor n/2\rfloor\lceil n/2\rceil\cdot\frac12$가 됨을 보인다. 이 증명은 기존의 복잡한 적분 방법을 피하고, 단순히 “가장 긴 대각선”과 “가장 짧은 변”의 조합을 이용한다.

전체적으로 논문은 기존의 단위 거리 문제와 정다각형 배치 문제를 통합하여 새로운 상한과 하한을 제시하고, 특히 (i)와 (iii)의 최적성 증명은 구성 예시와 조합적 카운팅을 결합한 점이 혁신적이다. 또한 (ii)의 추측은 아직 완전 증명되지 않았지만, 특수 경우에 대한 증명과 수치 실험이 제시되어 향후 연구 방향을 명확히 제시한다.