기하급수 각도에 관한 새로운 관찰

초록

에우러가 1773년에 발표한 논문 E561은 각도가 등비수열로 진행할 때 나타나는 삼각함수 관계들을 탐구한다. 그는 $\sin$, $\cos$ 함수의 합·곱 형태를 이용해 여러 항등식을 도출하고, 이를 비에뜨의 무한곱과 연결시켜 새로운 시각을 제시한다. 특히 $\sin\theta$, $\sin2\theta$, $\sin4\theta$ 등 기하급수적으로 늘어나는 각들의 곱과 합이 간단한 유리식으로 정리되는 점을 강조한다.

상세 요약

에우러는 먼저 $\theta$를 기본 각으로 두고, $2^k\theta$ 형태의 각들을 고려한다. 그는 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$와 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ 같은 기본 이중각 공식에서 출발해, 연속적인 이중각을 적용하면
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